関数の値の変化 添削願い

質問

関数f{x}=e^kx/{x^2+1} (k＞0)が極値を持つとき、kのとりうる範囲を求めよ。

という問題を解いた結果、

f´(x)={(kx^2-2x+k)e^kx}/{x^2+1}
f´(x)=0の時　　kx^2-2x+k=0
xは実数なので　D＞0
よって　-1<k<1
ここで　k>0より　　0<k<1

となったのですが、友人に聞いたところ、これは必要条件であって、確かめる必要があるということなのですが、どのように記せばよいのですか？

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

１．f´(x)=0の時だけでは必要条件だけです。
例えば f(x)=x^3はx=0でf'(x)=0ですが極値ではなく変曲点です。

２．したがって、f'(x)=0の根の左右の近傍の正負を検討します。
今回の場合、f'(x)=0の解x1,x2は2次曲線kx^2-2x+k=0の根で共に負の値となります。
f'(x)の符号は　A=kx^2-2x+k　のみに関係し、x1<x2 とするとx1でAは正から負へ、x2でAは負から正になるのでx1では極大値、x2では極小値と評価されます。

回答No.1

springside

ある程度明確に書いた方がいいのでしょう。

f'(x)={(kx^2-2x+k)e^(kx)}/{x^2+1}^2
となるから、

f(x)が極値を持つ
⇔f'(x)において符号が変化する場所がある
⇔xの２次方程式kx^2-2x+k=0が２つの異なる実数解を持つ
⇔上記２次方程式の判別式D>0

よって、D=(-1)^2-k^2>0より、-1<k<1
k>0なので、0<k<1…（答）