二次関数の問題なので

質問

二次関数の問題なので
例えばですが

y = x^2 + 2kx + k^2 - 2
という二次関数の方程式があるとします。
その方程式f(x)=0が実数解α、β（α≦β）をもつとき、次の問題に答えよ。

という設定があり、（１）の問題
α、βがα≦1≦βをみたすようにkの値の範囲を定めよ。

だったとします。
この問題を解くにあたって、既に問題文に「実数解α、β（α≦β）をもつ」とある場合
もう判別式をつくる必要はないのですか？

普通なら、「判別式が正」「この問題の場合、軸の場合分け」「x=1のときyが負」という三つの条件が必要ですよね？
しかし、既に問題文に「絶対二つの解をもつ」と書いてある場合は、判別式は必要ありませんか？

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

まず「はじめは判別式を考えるべき」です。
条件式として考えるようにしましょう。

いまの問題の場合、f(x)＝ x^2 + 2kx + k^2 - 2とおくと、α≦1≦βとなるための条件は
f(1)≦ 0

とかけますね。
実は、この条件に判別式からの条件が含まれています。
というのも、この条件から y＝ f(x)のグラフが必ず x軸以下に存在する（x軸と共有点をもつ）ようになるからです。

判別式の条件は、グラフが x軸と共有点をもつことと同じです。
ですので、慣れてくれば判別式の条件を省いてもいいかもしれません。

お礼

皆様回答ありがとうございました。
意味が理解できました。

まだ他にも理解出来ていないところがありますので
質問させていていただきますが、またよろしくお願いします。

回答No.3

OKXavier

>その方程式f(x)=0が実数解α、β（α≦β）をもつとき、
これがこの問題の仮定ですから、この仮定を使って、

>α、βがα≦1≦βをみたすようにkの値の範囲を定めよ。
を、計算していくことになります。ですから、
条件「方程式f(x)=0が実数解α、β（α≦β）をもつ」
と、「α、βがα≦1≦βをみたす」
から、
（１）判別式D≧0
（２）α≦1≦β　つまり、f(1)≦0
の条件を使うことになります。

ただ、この例の、２次式
y=x^2+2kx+k^2-2
は、判別式が正の条件をすでに満たしているので、この場合
には使う意味がないことになります。

さらに言えば、上の条件（２）から条件（１）が導かれるの
で、この場合、（２）の条件だけですむことになります。

>しかし、既に問題文に「絶対二つの解をもつ」と書いてある
>場合は、判別式は必要ありませんか？
書いてあるからこそ、この仮定を使えるということです。
問題文に仮定されていることしか使えませんから、使うこと
が、「絶対必要」なのです。普通は、使わない条件は問題文に、
書かれていないと考えた方が良いです。

（２）の条件から（１）の条件が導かれる例です。
２次式が　f(x)=x^2+ax+b　の場合。

(2)は、f(1)=a+b+1≦0
このとき、b≦-a-1
よって、-4b≧4a+4
したがって、a^2-4b≧a^2+4a+4=(a+2)^2≧0
ゆえに、D=a^2-4b≧0
(2)から(1)が示せました。

回答No.2

Anti-Giants

「α≦1≦β」を満たしていれば、判別式≧0ということです。
つまり、(1)を解く過程で、自然に含まれることです。

例えば、「解x=1,2をもつ二次方程式の判別式の符号を答えよ」という問題があるとします。このとき、判別式を計算しますか？
しませんよね。
そういうことです。

回答No.1

oosaka_ossan

「実数解を持つとき」というのは問題中の条件ですので、実数解を持つためにはｋの範囲はいくらじゃないとダメという制限が入ります。そして、その条件を満たすｋの範囲の中で他の条件をも満たすにはどういうことになりますか？というのが問題の聞こうとすることです。ですから、一番最初でいきなり判別式チェックが入りますよ。