分布関数

質問

参考書の解説一部抜粋

F(x^2+y^2+z^2)=F(x^2)F(y^2)F(z^2)のとき、この式の関係は
exp(a+b+c)=(e^a)(e^b)(e^c)
のように満たされる。したがった、分布関数は
F(x^2)=Aexp(-kx^2)
の関数形となる。Aとkは定数
定数Aは規格化条件
∫[-∞,∞]f(x)dx=1
となる。
F(x^2)=Aexp(-kx^2)を規格化すると
A∫[-∞,∞]exp(-kx^2)dx=A(π/k)^(1/2)=1
A=(k/π)^(1/2)

質問
(１)なぜ、F(x^2)=Aexp(-kx^2)の関数形となるのですか？
そもそも、なぜF(x^2+y^2+z^2)=F(x^2)F(y^2)F(z^2)のとき、この式の関係はexp(a+b+c)=(e^a)(e^b)(e^c)のように満たされるのですか？

(２)なぜ、A∫[-∞,∞]exp(-kx^2)dx=A(π/k)^(1/2)=1となるのですか？
πはどこからでてきたのですか？

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

F(a+b+c) が 「何かの a+b+c 乗」という関数じゃないと、それ以外に F(a)F(b)F(c) と等しくなるものがないから。別に、他に　F(a+b+c) = F(a)F(b)F(c) を満たす関数 F を思いつくならば、それを使ってみればよい。

そして、後の計算を楽にするなら、「自然対数の底 ｅ のべき乗」の形にしておいたほうが、微分積分も楽。

そして、分布関数ということは、全範囲で合計した確率が１ (＝発生頻度／試行回数)となる必要があるのだから、積分した結果と１を比較して、定数を確定すれば良い。

πが出てくるのは、正規分布を扱っていることを自覚していれば自明。

正規分布の基礎的な知識まとめ | 高校数学の美しい物語
http://mathtrain.jp/gaussdistribution