極値の条件から関数決定

質問

３次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり,x=2で極小値-6をとるとき,定数a,b,c,dの値を求めよ。

教えてほしいところ
この問題でa,b,c,dの値が求まった後、その値で本当に極値をとるのか見当する必要があるらしいんですが理解できません。
f`(α)=0→f(x)がx=αで極値をとる これがなり立たないのは理解できます。なぜなら,f`(x)＝０でD=0の可能性があるからです。
しかし、今回の問題ではf`(x)=0の解は２つあるという条件を組み込んでいるので、D=0の可能性は消えます。
つまり、f`(x)=0の解がα,βで（α>β)→f(x)がx=αで極値をとるということは成り立つはずです。
さらに、どちらが極大で極小をとるという保証もf(0)=-6,f(2)=0で十分なはずです。

よって逆の確認は必要ないのでは？？？
ご意見ください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

確かに確認は必要ないように思われますね。

ただし、3次関数である（f '(x)＝ 0が 2次方程式である）ことをその前提とした上での話です。

＞f`(α)=0→f(x)がx=αで極値をとる
＞これがなり立たないのは理解できます。
＞なぜなら,f`(x)＝０でD=0の可能性があるからです。
これも上の前提での話ですね。
判別式：D＝ 0というのは
「f '(x)＝ 0が重解をもつこと」であり、
極値の話としては「極値（候補）の前後で f '(x)の正負が変わらないこと」となります。

いま求められた a, b, c, dについて、上のようにならないことを述べられれば、確認はいらないと思います。
ただ、その論理展開を書くぐらいであれば、ささっと増減表を書いてしまった方が早いとも思いますね。(^^)

回答No.3

jmh

そんなときは「××から、○○は、ほとんど明らか」とか書けば、いいんじゃない？
「○○」は「求めた３次関数はｘ＝０で極大値２、ｘ＝２で極小値－６」なんだけど、これは普通は明らかでないと思います。でも、あなたの場合、おそらく「今のａ，ｂ，ｃ，ｄの求め方から」明らかなんですね。

回答No.2

info22_

必要十分条件は以下の等式と不等式を全て満たしていることです。
4つの等式(1),(2),(4)および(5)から(a,b,c,d)が求まりますが、
2つの不等式（極大、極小条件）と３次曲線条件を満たしていることを確認しないといけません。

(1) f(0)=2,
(2) f'(0)=0,
(3) f''(0)<0　（上に凸である条件）
(4) f(2)=-6,
(5) f'(2)=0,
(6) f''(2)>0　（下に凸の条件)
(7) a≠0　　　（３次曲線条件）

(1),(2),(4)および(5)から
(a,b,c,d)=(2,-6,0,2)　…(☆)
これらは
(3)の条件：2b<0,
(6)の条件：12a+2b>0
(7)の条件：a≠0
を全て満たしていることが確認できたことになります。

したがって、(☆)は必要十分条件を満たす解といえる。