極値をもたないとき

質問

こんにちは。

　問題で、　f(x)=3x^3+2ｋx^2-・・・・　が極値を持たない定数ｋの値の範囲を求めよ。
ちあるとき、

　解）　　ｆ’（ｘ）＝9x^2＋4ｋx－・・・・

　　　　D=・・・・・＜＝０

　　　　∴　　　　・・・・＜＝ｋ＜＝・・・・

は、正解ですか？

　言葉で、極値を持たないためには、ｆ’（ｘ）＝０の解が重解または実数解を持たない
ことなので、D<=0であればよい。とか、書かないと減点でしょうか？
どの言葉を書けばいいのかわかりません。

回答No.2

shintaro-2 · ベストアンサー

>　D=・・・・・＜＝０
>　　∴　　　　・・・・＜＝ｋ＜＝・・・・
>は、正解ですか？

それは合っていると思うのですが、

>言葉で、極値を持たないためには、ｆ’（ｘ）＝０の解が重解または実数解を持たない
ことなので、

これはちょっと違うのでは？
3次関数が極値を持つ場合、

Xの変動に伴い、Yは
例えば
増加→減少→増加　となります。

これは、一次導関数が＋、－、＋となることを意味しています。
つまり、一次導関数の判別式：D>０です。

一方極大、極小を持たない3次関数としては、
f(x)=X^3があります（三重解）。

これはｆ’（X)が＋、０、＋となりますので、一次導関数の判別式：D=0　つまり重解を持ちます。

式だけの場合、「Dは判別式」と記載すべきですし、
文章を記載するのであれば「異なる実数解を持たない」と記載すべきです。

どうせなら導関数の「符号が変わらない」ことを書いた方が良いですね。

お礼

ありがとうございました。お礼が遅くなりすみません。

回答No.4

Tacosan

単に「判別式」だと, やっぱりまずい.

判別式ってのは「何かを判別する式」なんだから, 「何を判別する式なのか」あるいは「何に対する判別式なのか」をちゃんと書かないといけない.

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

「極値を持つかどうか」に本質的に影響するのは #2 にあるように (そしてその解答でもふれられているように)
導関数の符号が変わるかどうか
です. 実数解の個数がどうとか重解がどうとかいうのはそれに付随する話でしかない以上, 符号の話をせずに「重解または実数解を持たない」と書くのは本末転倒です.

あとついでにもう 1つの質問とも絡むんだけど, 本当に
ｆ’（ｘ）＝9x^2＋4ｋx－・・・・
　　　　D=・・・・・＜＝０
　　　　∴　　　　・・・・＜＝ｋ＜＝・・・・
で十分だと思うならかなりまずい. 採点者に理解度を疑われても文句は言えない. 少なくとも, 「問題文で使われていない文字を出すときにはきちんと言葉で意味を与える」という意識は持ってほしい.

お礼

ありがとうございます。

補足

Ｄについて、判別式と書けばいいのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

採点基準によります.

ところで, 「f(x) が極値を持たない」条件として「ｆ’（ｘ）＝０の解が重解または実数解を持たない」が一般的には正しくない, ということは理解できていますか?

お礼

ありがとうございます。

補足

正しくないのはどしてでしょうか。
解答をみたら、
　f(ｘ)が極値を持たないための条件は、f'(x)の符号が変わらないこと、すなわち
2次方程式f'(x)=0が実数解を１つだけもつかまたは実数解をもたないことである。
と書いてありました。

　重解と実数解を１つだけもつ　は　違うのでしょうか？