位相と連続の証明問題で質問です。

質問

識者の皆様よろしくお願い致します。下記の問題について質問です。

Let A be a set;let {X_α}_α∈J be an indexed family of spaces;and let {f_α}_α∈J be an indexed family of functions f_α:A→X_α.
(1) Show there is a unique coarsest topology T on A relative to which each of the fuctions f_α is continuous.
(2) Let S_β:={f_β^-1(U_β); U_β is open in X_β},and let S=∪S_β. Show that S is a subbasis for T.
(3) Show that a map g:Y→A is continuous relative to T if and only if each composite map f_α。g is continuous.
(4) Let f:A→ΠX_α be defined by the equation f(a)=(f_α(a))_α∈J ;let Z denote the subapace f(A) of the product space ΠX_α.Show that the image under f of each element of T is an open set of Z.

「Aを集合とし,{X_α}_α∈Jを添数付けられた(位相?)空間の族とし,{f_α}_α∈Jを添数付けられた写像f_α:A→X_αの族とせよ。
(1) 各f_αが連続となる事に関連したA上の最強位相Tが一意的に存在する事を示せ。
(2) S_β:={f_β^-1(U_β);U_βはXでの開集合},そしてS=∪S_β…(*)とする時,SはTの準開基となる事を示せ。
(3) 写像g:Y→AがTに関して連続⇔各合成写像f_α。gは連続。
(4) f:A→ΠX_αをf(a)=(f_α(a))_α∈J; Zは直積空間ΠX_αのf(A)の部分空間を表す。Tの各元のfの像はZの開集合になる事を示せ。」

(1)については各f_αが連続だというのだから∀t_α∈T_α(但しT_αはX_αの位相),f_α^-1(t_α)はAの開集合(…という事はAは何らかの位相を持っている?その位相をTとしておく)。f_α^-1(T_α)⊂Tになっていなければならない(∵連続の定義)。
よってT=∪[α∈J]{f_α^-1(t_α)∈2^A;t_α∈T_α}…(ア)と書け、TはAの最強の位相だというのだからAの任意の位相は全てTより弱い。
よってTは離散位相にならねばならない?
それでT=2^Aを示せばいいのかと思いました。T⊂2^Aは明らかなのでT⊃2^Aを示します。
∀G∈2^Aを採ると、、、ここからどのように書けますでしょうか?

(2)については今,S=∪[β∈J]S_β={s∈2^A;∃β∈J such that s∈S_β}…(**)となっていて,
∪[s∈S]s=Tとなる事を示せばよい(∵準開基の定義)。
∪[s∈S]s⊂Tを示す。
∀s∈Sを採ると(*)より,∃β∈J;s=f_β^-1(U_β).よってこれは(1)でのTの元になっているのでs∈T.
∪[s∈S]s⊃Tを示す。
∀t∈Tを採ると∃β∈J;t=f_β^-1(t_β) (但し,t_β∈T_β)(∵(ア))
よってS_βの定義(S_β:={f_β^-1(U_β);U_βはXでの開集合})からf_β^-1(t_β)∈S_β.
よって(*)よりf_β^-1(t_β)∈∪[s∈S]s(∵(**)). 以上より T=∪[s∈S]s.

で大丈夫でしょうか?

(3)については
"⇒"は連続写像同士の合成はまた連続なので明らか。
よって逆を示す。
まずf_α。g:Y→X_αは連続だと言うのだから∀t_α∈T_α,(f_α。g)^-1(t_α)∈T_y (但し,T_yはYの位相)…(***)と書ける。
そしてこれは(f_α。g)^-1(t_α)=g^-1(f_α^-1(t_α)) (∵逆写像の定義)と変形でき,
f_α^-1(t_α)∈T_α⊂Tだったので纏めると,,(***)から
∀f_α^-1(t_α)∈T,g^-1(f_α^-1(t_α))∈T_yと書け、gは連続。

(4)についてはf(a)=(f_1(a),f_2(a),…)となっていて
Z(⊂f(A))の位相はT_z:={f(A)∩t_p∈2^ΠX_α;t_p∈T_p} (但しT_p:={U[u∈U];U⊂ΠT_α}) と書ける(∵相対位相の定義)。
それで示す事は∀t∈T,t∈T_zである。
∀t∈Tを採ると∃α∈J;t∈T_αそして,f(t)=(f_1(t),f_2(t),…)となり,今f(t)∈f(A)なので
f(t)∈T_zである事を示すにはf(t)∈t_pである事を示せばよい。

でこれらも大丈夫でしょうか?

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

長々としているんで全部はちゃんと読んでないけど……
coarsestはcoarse(粗い)の最上級だからcoarsest topologyは「最も粗い位相」だね。
数学的常識から言えばこれは最弱の位相だけど、なんで最強位相が出てくるのかな。

お礼

ありがとうございます。

> 長々としているんで全部はちゃんと読んでないけど……
> coarsestはcoarse(粗い)の最上級だからcoarsest topologyは「最も粗い位相」だね。
> 数学的常識から言えばこれは最弱の位相だけど、なんで最強位相が出てくるのかな。

coarse(粗い)=強い
という解釈でいいんですよね。

(3)については
"⇒"は連続写像同士の合成はまた連続なので明らか。

これはよく考えるとf_αは連続とは(1)の時だけですよね(多分)。
そうしますとどうやってf_α。g:連続が導けますでしょうか?

すいません。(4)の回答は尻切れとんぼになってました。

(4)についてはf(a)=(f_1(a),f_2(a),…)となっていて
Z(⊂f(A))の位相はT_z:={f(A)∩t_p∈2^ΠX_α;t_p∈T_p} (但しT_p:={U[u∈U];U⊂ΠT_α}) と書ける(∵相対位相の定義)。
それで示す事は∀t∈T,t∈T_zである。
∀t∈Tを採ると∃α∈J;t∈T_αそして,f(t)=(f_1(t),f_2(t),…)となり,今f(t)∈f(A)なので
f(t)∈T_zである事を示すにはあとf(t)∈t_pである事を示せばよい。
f_1(t)∈T_1,f_2(t)∈T_2,… なので(∵f_1,f_2,…は連続?)
よってf(t)∈ΠT_α すなわち,f(t)∈t_p (終)

でいいでしょうか?
(もしかしてこれもf_1,f_2,…は連続の条件は使えない!?)

回答No.3

rinkun

> coarse(粗い)=強い
「粗い＝弱い」だよ。

そもそも位相について基礎知識があれば、語彙がなくても(1)の文脈だと最弱位相でなければならないことは分かりそうなものだけど。
最強位相を取れば常に離散位相になってしまうから定義に意味がないでしょ。

お礼

>> coarse(粗い)=強い
> 「粗い＝弱い」だよ。

そうでしたか。ありがとうございます。

> そもそも位相について基礎知識があれば、語彙がなくても(1)の文脈だと
> 最弱位相でなければならないことは分かりそうなものだけど。
> 最強位相を取れば常に離散位相になってしまうから定義に意味がないでしょ。

そうしますと

(1)については
各f_αが連続だというのだから∀t_α∈T_α(但しT_αはX_αの位相),f_α^-1(t_α)はAの開集合(…という事はAは何らかの位相を持っている?その位相をTとしておく)。f_α^-1(T_α)⊂Tになっていなければならない(∵連続の定義)。
よってT=∪[α∈J]{f_α^-1(t_α)∈2^A;t_α∈T_α}…(ア)と採ればよい。
何故なら,もしT'⊂Tとなる真部分集合になっているTより弱く全f_αを連続にさせる位相T'があったとすると
∃α_0∈J;f_α_0^-1(t_α_0)∈T＼T'でこの場合,f_α_0はT'においては不連続になってしまい,矛盾。
よってTが題意を満たす最弱の位相。最小の定義から一意性も保障される。 (終)

という具合で宜しいでしょうか?

あと,(3),(4)はf_αが連続である事が使えない場合どのようにして示せば宜しいでしょうか?

回答No.2

arrysthmia

＞ coarse(粗い)=強い
＞ という解釈でいいんですよね。
　　↓
http://www.sugakukobo.com/pdf/EA%20Report%2020080127.pdf

お礼

>> coarse(粗い)=強い
> 「粗い＝弱い」だよ。

そうでしたか。ありがとうございます。

そうしますと

(1)については
各f_αが連続だというのだから∀t_α∈T_α(但しT_αはX_αの位相),f_α^-1(t_α)はAの開集合(…という事はAは何らかの位相を持っている?その位相をTとしておく)。f_α^-1(T_α)⊂Tになっていなければならない(∵連続の定義)。
よってT=∪[α∈J]{f_α^-1(t_α)∈2^A;t_α∈T_α}…(ア)と採ればよい。
何故なら,もしT'⊂Tとなる真部分集合になっているTより弱く全f_αを連続にさせる位相T'があったとすると
∃α_0∈J;f_α_0^-1(t_α_0)∈T＼T'でこの場合,f_α_0はT'においては不連続になってしまい,矛盾。
よってTが題意を満たす最弱の位相。最小の定義から一意性も保障される。 (終)

という具合で宜しいでしょうか?

あと,(3),(4)はf_αが連続である事が使えない場合どのようにして示せば宜しいでしょうか?