Ｘ：n次ユークリッド空間 R^n

質問

Ｘ：n次ユークリッド空間 R^n
Ｕ：密着位相,離散位相でない位相
とします．

このとき，∀x∈Ｘに対し，{x}を考えたとき，{x}は（Ｘ，Ｕ）内で開集合になりますか？

開集合の定義は，（Ｘ，Ｕ）が位相空間であるとき，Ｕの元のことを言うのだと思うのですが，これは位相Ｕの作り方によって変わってきますよね？

xをＸから任意に選んできても，{x}を含むように位相Ｕを作れば，そのＵを位相とする位相空間（Ｘ，Ｕ）内であれば{x}は開集合ですか？

もし離散空間であれば明らかに{x}は開集合ですし，密着空間であれば{x}は開集合でないと言えます．しかし上記のような位相の場合は，一概には言えないという解釈でいいのですか？というより，先にある位相空間が与えられていて，それに対して{x}が開集合かどうかという話でしょうか？

長々とすいませんが，よろしくお願いいたします．

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

Rを実数の集合とする
R+={x|x>0},R-={x|x≦0}
U={A∪B|(A=R+又はA=φ)&(B⊂R-)}
とすると
R=(R+)∪(R-)∈U, φ=φ∪φ∈U
V_1,V_2∈U　→　V_1∩V_2∈U
(V_λ)_{λ∈Λ}⊂U → ∪_{λ∈Λ}V_λ∈U
だから　U は位相
{0}⊂R-　{0}∈U {0}は開
{1}を含む最小の開集合はR+だから{1}は開でない
Uは密着位相でも離散位相でもない

回答No.2

kabaokaba

任意の要素xに対して{x}が開集合だったら
任意の部分集合は開集合でしょう？
ユークリッド空間とかはまったく関係ない．

回答No.1

koko_u_u

{x} が開集合であるような位相 U を考えたとき、位相空間の定義によって U は結局離散位相でしかあり得ないのではないか？

という疑問です。