距離空間でどのように開集合族をとれば位相空間になる?

質問

よろしくお願い致します。

距離空間Xはその距離によって定められる開集合族をGとすればXは位相空間になると本に書いてあったのですが
いまいち文意が分かりません。
距離d:X^2→Rに於いて、具体的にどのようにGを定めればいいのでしょうか?

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

普通に考えると、すべての点が内点である部分集合全体の集合をGとす
ればよいです。

部分集合Uの点pが内点であるとは、pのある近傍{p'|d(p',p)<ε}が
Uに含まれることです。

開集合族の定義を満たすかどうか・・・

φ∈Gは「p∈φ⇒∃ε>0：{p'|d(p',p)<ε}⊂φ」が成り立つかどうか
ですが、仮定の部分が偽なので、これは正しいことになります。
よってφ∈G
X∈Gは明らかでしょう。

U1,…Un∈Gとすると、p∈U1∩…∩Unならば、任意のi=1,…,nに対して
p∈Uiなので、{p'|d(p',p)<εi}⊂Uiとなるεi>0が選べて、この中の
最小のものをεとすれば、これは有限個の正数の最小値なのでε>0
であり、任意のi=1,…,nに対して{p'|d(p',p)<ε}⊂Uiとなり、したが
って、{p'|d(p',p)<ε}⊂U1∩…∩Un。すなわち、pはU1∩…∩Unの
内点であり、pは任意なのでU1∩…∩Un∈Gです。

{Ui|i∈I}⊂G（Iは添え字の集合で、可算である必要はない。）とし
て、p∈∪(i∈I)Uiとすると、あるj∈Iに対してp∈Ujであり、pのある
近傍がUjに含まれ、Uj⊂∪(i∈I)Uiなので∪(i∈I)Uiにも含まれる
ことがわかり、したがってpは∪(i∈I)Uiの内点で、∪(i∈I)Ui∈G。

無限個の共通集合は開集合になるとは限らないのは、上のεiの最小値
を考えるところで、無限個の正数の最小値が存在するとは限らないこ
とからわかると思います。

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。
お陰様で大変参考になりました。
どうも有り難うございました。

回答No.4

kabaokaba

#1です．
もうすでにご指摘がありますが
あくまでも「開基」です．
開基と位相は違います．

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。
お陰様で大変参考になりました。
どうも有り難うございました。

回答No.3

ojisan7

G={{x∈X;d(x,y)<r};y∈X,r∈R}
これは、ちょっと違いますね。
Ｂ={{x∈X;d(x,y)<r};y∈X,r∈R}としたとき、Ｂは開集合の基になりますから、ＧはＢの任意の要素の和集合を要素（開集合）とする集合でなければなりません。

お礼

ご回答有難うございます。

> ＧはＢの任意の要素の和集合を要素（開集合）
> とする集合でなければなりません。
えーと、つまり、
その距離によって定められる開集合族をGとして
G:={∪[A∈C]A∈2^X ; C⊂B}
と採ればいいんですよ。

(i) Φ∈Gである事は
Φ∈Bなので(∵Φ={x∈X;d(x,y)<0}∈B)C=Φと採れば、∪[A∈C]A=Φだから
Φ∈Gですよね。

(ii) X∈Gである事は
∪[A∈C]A⊂Xは明らかなので∪[A∈C]A⊃Xを言えばよい。
∪[A∈C]A⊃XとなるCとしてBを採ればよい。
(∵∀t∈Xに対して、t∈{x∈X;d(x,t)<1}∈Bという風にtを含むBの元が必ず存在するから∪[A∈B]A⊃X)

(iii) (任意個の和集合がGの元になる)∀H⊂2^G,∪[a∈H]a∈Gである事は
∀h1,h2∈Gに対して、h1=∪[A∈C1]A,h2=∪[A∈C2]A (C1,C2⊂2^B)と書け、
G∋∪[A∈C1∪C2]A (∵C1∪C2⊂2^B)
=(∪[A∈C1]A)∪(∪[A∈C2]A)
=h1∪h2
から言える。
で正しいですかね(あまり自信無し)。

(iv) ∀h1,h2,…,hn∈Gに対して、h1∩h2∩…∩hn∈Gである事は
(∪[A∈C1]A)∩(∪[A∈C2]A)∩…∩(∪[A∈Cn]A)
=∪[A∈∩[i=1,2,…,n]Ci]A (∵ド・モルガンの法則)
∈G (∵∩[i=1,2,…,n]Ci⊂2^B)

(i),(ii),(iii),(iv)よりXはGを位相として位相空間をなす。
で正しいでしょうか?

回答No.1

kabaokaba

R^nと全く同じです．
すなわち，R^nの絶対値の代わりに距離dを用います．
開球を開基として位相を構築するだけです．

お礼

ご回答有難うございます。

R^nでならG={{x∈R^n;|x-y|<r};y∈R^n,r∈R}という集合族でしょうか?
とするとXでなら
G={{x∈X;d(x,y)<r};y∈X,r∈R}
となりましょうか?

勘違いしておりましたらご指摘戴ければ幸いでございます。