教えてください(一般教養レベルの数学)

質問

数学が大変苦手で、困っています。全問でなくても構いません。可能な範囲で教えてください。お願いします。

●正六角形の対角線は何本か

もちろん図に描けば、すぐ分かってしまうのですが、同類の問題（正ｎ角形の対角線は何本か）が出されても解けるように、解説をお願いします。

●１本２０円の鉛筆をｍ円、６０円の鉛筆をｍ円、あわせて２ｍ円買った。これらの鉛筆の１本の平均値段を求めよ

問題の意図が分かりません・・・。答えは３０円だそうです。

●教会へ４日ごとに来る人と、６日ごとに来る人とが土曜日に会った。この２人が再び土曜日に会うのは何日後か

これは、「４，６，７」の最小公倍数を求めたら良いのでしょうか？？公倍数の概念は分かるのですが、確実に「最小」を求める方法を教えてください。

●２０！は末位から何桁目まで０がつくか

全く分かりません・・・。「！」が２０×１９×１８×・・・×１を意味する(?)ということは理解しています。

●１０をいくつかの自然数の和に分解し、それらの数が積をつくるとき、最も大きい積はいくつか

「全て書き出して、何となく分かる」という状態です・・・。

●ａ2＋２ａｂ＋ｂ2、ａ2－ａｂ－２ｂ2、ａ2－ｂ2の最大公約数を求めよ

半角数字は平方のつもりです。

回答No.9

fulkrogner · ベストアンサー

とりあえず全部答えてみます。

●正六角形の対角線は何本か
ｎ角形の場合、当然角はｎ個ですね。
それぞれの角から対角線を引ける角の数は、ｎ－2で求められます。
　※両隣りの角には対角線が引けないので

ここでｎ×（ｎ－2）とすると、同じ対角線を2回カウントしてしまうので、最後に2で割ります。
　※角Ａ～角Ｂの線と角Ｂ～角Ａは1本と数えなければいけないので
よって、対角線の数を導き出す公式は、
　ｎ×（ｎ－2）÷2
となります。

●１本２０円の鉛筆をｍ円、６０円の鉛筆をｍ円、あわせて２ｍ円買った。これらの鉛筆の１本の平均値段を求めよ

問題を方程式に当てはめると、
20円×(ｍ÷20)本＋60円×(ｍ÷60)＝２ｍ円　となるので、
全部で(ｍ÷20)＋(ｍ÷60)本の鉛筆を２ｍ円買ったことになるわけです。
よって、1本あたりの平均額は
　２ｍ÷｛(ｍ÷20)＋(ｍ÷60)｝＝30
で求められます。

●教会へ４日ごとに来る人と、６日ごとに来る人とが土曜日に会った。この２人が再び土曜日に会うのは何日後か

まず、４と６の最小公倍数を求めます。
それぞれを因数分解すると２×２と２×３となるので、
（２×２）×（２×３）で公倍数は求められますが、
最小公倍数を求めるためには、双方に共通する因数は1回しか掛けてはいけないので、
　２×２×３＝１２が最小公倍数となります。

続いて１２と７の最小公倍数を求めますが、こちらは双方に共通する因数がないので、
　１２×７＝８４が単純に最小公倍数となります。

よって、４、６，７の最小公倍数は８４です。

●２０！は末位から何桁目まで０がつくか

掛け算で下一ケタがゼロになるのは、偶数に５の倍数をかけたときのみです。
なぜかというと、１０を因数分解すると２×５となるからです。
１×２×・・・×１９×２０と掛けていくと、
５の倍数を掛けるタイミングは５、１０、１５、２０の４回ですから、
２０！の末位のゼロの数は「４」になります。

●１０をいくつかの自然数の和に分解し、それらの数が積をつくるとき、最も大きい積はいくつか

これは全て書き出すしかないかも。
２×２×３×３＝３６が最大でしょうか・・・。

●ａ2＋２ａｂ＋ｂ2、ａ2－ａｂ－２ｂ2、ａ2－ｂ2の最大公約数を求めよ

うーん。難しいな。
全部ａ＋ｂで割ると、
ａ＋ｂ、ａ－２ｂ、ａ－ｂとなるので、答えは「ａ＋ｂ」でしょうか。

回答No.12

pyon1956

１．皆さんの公式でよいのですが、二つの頂点を結ぶ線のうち辺でないものと考えて、nC2-n
(nC2は組み合わせの計算）
２.20円のがｍ/20本、60円のがｍ/60本。よって、
2m/(m/20+m/60)=30
これは調和平均ですね。
３.おっしゃるとおりです。84日後ですね。
４. 20は５の２乗より小さいので５の倍数が２０以下に何個あるか数えれば十分です。（10=2*5で、２の倍数のほうが５の倍数より多いので）30！なんかだと25＝5＊5なので20！よりも3個ふえますけどね。
５.一般に分けられた数どうしの差が小さいほうが大きくなります。相加平均と相乗平均の関係より。
それでせいぜい10通りかんがえればいいんです。
つまり、(10),(5,5),(3,3,4),(2,2,3,3,),(2,2,2,2,2),(1,1,2,2,2,2),以下(全部１）まで。
No6さんのおっしゃるように1が入ると明らかに小さくなるので最初の5個だけで十分ですね。
６．因数分解でおわり。最初のを分解した瞬間見当はつきますけど。

お礼

皆さん、丁寧な解説、どうもありがとうございました。

回答No.11

Quattro99

書き忘れましたが、最後の問題はaとbは互いに素という条件がありませんでしたか？

回答No.10

denbee

もう一つ
>●２０！は末位から何桁目まで０がつくか
>
>全く分かりません・・・。「！」が２０×１９×１８×・・・×１を意味する(?)ということは理解しています。

ちょっとトリッキーな問題ですね。
１）まず末尾が０になるのはどんな場合か考えます
　・１０（または２０）をかけて桁上がりがあった場合
　・２×５、４×５、６×５・・・のように因数分解の結果
　２×５（すなわち１０）が含まれる場合の2通りです。

２）次に末尾に０が並ぶことがどんなことかを考えると、
　これは１０×１０＝１００のように１０をかけて繰り上がりが合った場合しかありえません。
　すなわち、２０！の掛け算の中に何回１）の条件を満たす式、
すなわち１０の掛け算が出現するかを考えます。

３）２０！には１０と２０が含まれていますから、まず2回。
次に、５を含む数は５、１５の二つですから、これにそれぞれ２と４を書ければ１０と６０となり、
それぞれ１０が２回出現します。
よって、末尾には４つの０が並ぶことになります。
（多分）

回答No.8

shion121

では、三番を
まず、二人が次に会うのは、４と６の最小公倍数の１２です。
しかし、１２日後では、土曜日にならないので、７日も考慮に入れなければなりませんね。
４・６・７の最小公倍数を求めるわけですが、ここは、１２と７の最小公倍数を求めたほうが考えやすいでしょう。
８４となります。
確実に「最小」公倍数を求めるのは、数が巨大になったりすると大変ですが、３つの数の最小公倍数を求めるのではなく、最初２個の最小公倍数を求め、次にそれと残ったものとの最小公倍数を求めると間違いが減るのではないでしょうか

回答No.7

shion121

では、三番を
まず、二人が次に会うのは、４と６の最小公倍数の１２です。
しかし、１２日後では、土曜日にならないので、７日も考慮に入れなければなりませんね。
４・６・７の最小公倍数を求めるわけですが、ここは、１２と７の最小公倍数を求めたほうが考えやすいでしょう。
８４となります。
確実に「最小」公倍数を求めるのは、数が巨大になったりすると大変ですが、３つの数の最小公倍数を求めるのではなく、最初２個の最小公倍数を求め、次にそれと残ったものとの最小公倍数を求めると間違いが減るのではないでしょうか

回答No.6

Quattro99

問題に番号を振ってもらった方が回答をしやすいです。ヒントだけ書いてみます。

1問目：一つの頂点から引ける対角線の数は何本か。隣り合うの頂点には対角線を引けないところがミソです。頂点の数はわかりますから、それを掛け合わせますが、すべて2回ずつ重複することになるので2で割ります。

2問目：60円の鉛筆の本数をxとして計算すれば、計算が簡単だと思います。60円の鉛筆の総額と同じ金額で20円の鉛筆は3倍の本数買えます。

3問目：最小公倍数でよいと思います。最小公倍数を求めるには素因数分解します。
例えば、12は2が2つと3に素因数分解できます。従って、2を2つ以上と3を1つ以上因数に持つ整数は12の倍数ということになります。
18は2が1つと3が2つに素因数分解できます。従って、2を1つ以上、3を2つ以上因数に持つ整数は18の倍数です。
12と18の公倍数はその両者を満たしますから、2を2つ以上、3を2つ以上因数に持つ整数が公倍数です。その最小ですから、2を2つ、3を2つだけ因数に持つ、つまり、それらを掛け合わせた36が12と18の最小公倍数です。

4問目：10をいくつ因数に持つかということです。10は2*5ですから、20!を素因数分解にしたときに、因数2と5のうちの少ない方の数だけ10を因数に持つことになります。

5問目：まず、1を使うのはダメ（1に分けるよりも、その1を他の数に足して掛け合わせた方が大きくなるから）。というようにやっていく方法しかわかりません。

6問目：因数分解してみてください。

回答No.5

denbee

長くなるので一つだけ。

>●１本２０円の鉛筆をｍ円、６０円の鉛筆をｍ円、あわせて２ｍ円買った。これらの鉛筆の１本の平均値段を求めよ
>
>問題の意図が分かりません・・・。答えは３０円だそうです。

段階的に考えると、この問題が要求しているのは1本あたりの平均の値段です。1本の平均の値段は
（鉛筆を買った総額）÷（買った鉛筆の本数）
で求められます。
今、総額は２ｍ円とわかっていますが、20円鉛筆と60円鉛筆をそれぞれ何本づつ買ったかは書いてありません。
そこで問題内の条件から推測します。
問題では「１本２０円の鉛筆をｍ円、６０円の鉛筆をｍ円」となっていますから、
買った本数数＝（鉛筆の合計金額）÷（1本当たりの単価）
ですので
20円鉛筆の買った本数＝m/20本
60円鉛筆の買った本数＝m/60本
よって、両方の合計本数は（4m/60）本です。
これを元に上記の式に当てはめると答えが出ます。

回答No.4

tokioyasubay

再び＃１登場
５番

４＋３＋３で、答えは、３６が最大。
数式や理論的な説明はできません。
組み合わせを考えたらこうなりました。

再び退場します。すみません。

回答No.3

raipui

４日ごとと６日ごとなので
４と６の最小公倍数でいいと思うのですが。

回答No.2

raipui

対角線ですが公式があります。
　　n(n-3)/2本です。
ｎ角形の一つの頂点から引ける対角線はその点と両隣の２点を除くｎ－３本です。それがｎ個の頂点全てにもいえるのでｎ（ｎ－３)となります。しかし同じ線を２回数えているので２で割るのです。

２つめですが
２０円の鉛筆をｍ円買ったのでその鉛筆はｍ/２０本あります。
６０円も同様にｍ/６０本あります。
従って合計でｍ/２０＋ｍ/６０＝４ｍ/６０本あります。
あわせて２ｍ円かったので鉛筆１本の平均値段は
２ｍ÷４ｍ/６０＝３０(円)となります。