自分の解き方の何が悪いかわからない…

質問

こういう問題がありました
「2つの自然数a,b(a<b)について、aとbの最大公約数は6
最小公倍数は216である。このような(a,b)の組は何組あるか」

自分は
二つの整数とその二つの整数の最小公倍数、最大公約数の定理より
a×b＝6×216 がなりたつ　
ここで右辺を素数の積の形に直すと
a×b＝2^4×3^4

よって左辺では2を4個、3を4個供給しなければいけないので
考えられる組み合わせは
a　　　　　　　　　　　　　b　　　　
2^0×3^0　　　　　　　2^4×3^4
：　　　　　　　　　　　　　　：
：　　　　　　　　　　　　　　：
： 　　　　　　　　　　　　　 ：
2^4×3^4　　　　　　　2^0×3^0

の25個
ここからa<bの条件に合わないものを除き　答えは11組
と考えたのですが、正解は2組でした
ぜんぜん違いました…

どこが間違っているのでしょうか　おしえてください

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No.9 です。

polkocの間違っている点は、

1) a, b が最大公約数 6 を必ず含まなければならないことを忘れていること。
2) a, b が最大公約数 6以外の共通の因数を持ってはいけないことを忘れていること。

ということですね。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

定義から a=6x, b=6y で 6xy=216 → xy=36

つまり xy=36 で, x < y で互いに素な x, y を見つければよい。

1, 36 ⇒OK
2,18 ⇒NG
3, 12 ⇒NG
4, 9 ⇒OK
6, 6 ⇒NG

2個です。

回答No.8

KEIS050162

＃６です。

失礼しました。その通りですね。

２ｘ３
２ｘ２ｘ２ｘ３ｘ３ｘ３

と

２ｘ３ｘ３ｘ３
２ｘ２ｘ２ｘ３

でも共通因数は、２ｘ３だけになりました。訂正ありがとうございました。

回答No.7

noname#181872

#6様

> ａ＝６，Ｂ＝２１６　か、ａ＝２１６，ｂ＝６　しかないのでは。

a=24、b=54は条件を満たしますよ。

別に6と216でなくても、一方の数が2×3×2^m、もう一方の数が2×3×3^nで表せる数ならば、
最大公約数が6という縛りを満たせますので。

回答No.6

KEIS050162

素因数分解すると、２と３の因数しか出てこないのですから、最大公約数が６という条件に合う組み合わせは、

ａもしくはｂどちらかが、因数２と３をそれぞれ一個ずつしか持っていない、

という組合せに絞られてしまうと思います。

なので、
ａ＝６，Ｂ＝２１６　か、ａ＝２１６，ｂ＝６　しかないのでは。

それ以外だと、共通因数が、　２，２，３　とか　２，３，３になってしまい、最大公約数が６の条件から外れます。

ご参考に。

回答No.5

ta20000005

最大公約数が6ということはaもbも6の倍数で
a=6α
b=6β
α<βでαとβは互いに素
とすれば
6α×6β=6×216
になり、αとβの条件から解けますよね。

回答No.4

noname#181872

すみません。#3の1行目に間違いが。

> b=36（2^2×3^3）

b=108（2^2×3^3）の間違いです。

回答No.3

noname#181872

この解き方の場合、例えばa=12（2^2×3^1）、b=36（2^2×3^3）というのも
解になりますよね。でも、この2つの数の最大公約数は6でしょうか？
aとbの最大公約数は6ということは、それぞれを6で割った、a/6とb/6は
互いに素でなければなりません。この解法ではそのような縛りがないから
解の組み合わせが多くなってしまっています。

回答No.2

asuncion

＞aとbの最大公約数は6

aは6（2^1 × 3^1）以上でなければなりませんね。
これで、候補がかなり絞り込めるのではないでしょうか。

回答No.1

Tacosan

例えば
a = 2^0×3^0, b = 2^4×3^4
なんて組み合わせは絶対にありえないよね.