数Ａ 場合の数について

質問

１、２００以上５００以下の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。

(1)６の倍数かつ９の倍数

(2)６の倍数または９の倍数

２、１００から２００までの整数のうち、次の整数の個数を求めよ。

(1)５の倍数かつ８の倍数

(2)５の倍数または８の倍数

～～～～～～～～～～～～～

１、(1)３０１÷１８＝１６　Ａ，１６個

　　　６と８の最小公倍数は１８．
　　　よって、６の倍数かつ８の倍数は１６．

２、(1)・１０１÷４０＝２．…　

A,２個　→×

　　　 ・５の倍数と８の倍数の最小公倍数は４０．
　　　　よって　{40×3, 40×4, 40×5}

　　　　　　　　A,３個　→〇

～～～～～～～～～～～

なぜ、(1)は最小公倍数で割って答えが出たのに、

(2)は最小公倍数で割っても答えではないのでしょうか？

(1)の方法で答えが出ると勘違いし、テストに望んだ所、結果は散々でした。

やはり間違っていたのでしょうか？

回答お願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

正しい解きかたは皆が書いているから、
私は、貴方が何を間違えたのかだけ書きます。

(500-200+1)÷18 = 16.7 であることは、
200 から 500 までの中に長さ 18 の区間が
最大 16 個入ることを示しています。
「最大 16 個」であって、置きかたによっては
常に 16 個入るとは限りません。
実際、自然数を 18 の倍数で区切った区間は、
200 から 500 までに 15 個しか含まれません。
区間が 15 個だから、その端点の総数は 15+1
になるのです。植木算ですね。
では、なぜ 1 個減って 15 個なのでしょう？
仕掛けは、200 から 500 までの両端にあります。
200 から 500 までに含まれる 18 の倍数は、
最小のものが 216、最大のものが 486 です。
両端の半端を合わせると (216-200)+(500-486)
= 30 個。これが 18 を越えてしまうために、
最大の 16 個を置くことができなかったのです。

実は、２ の問題のほうがむしろ素直です。
100 から 200 の中に含まれる 40 の倍数は、
最小のものが 120、最大のものが 200 です。
今回も両端の半端を合計してみると、
(200-200)+(120-100) = 20 で、40 を越えません。
このため、100 から 200 までの中に、
40 の倍数で区切られた長さ 40 の区間が、
無駄なく [ (200-100+1)÷40 ] = 2 個入るのです。
区間が 2 個だから、端点の総数は 3 個になります。
植木算です。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

勘違いに気付けました。ありがとうございます＾＾

回答No.4

KEIS050162

集合の考え方ですね。数値が違うだけで考え方は同じなので、１．の方だけ。

Ａ　＝　｛ｎ：ｎは６の倍数、ｎは２００以上５００以下の自然数｝
Ｂ　＝　｛ｎ：ｎは９の倍数、ｎは２００以上５００以下の自然数｝

１）　Ａ∩Ｂ　となりますので、６と９の最小公倍数、即ち１８の倍数ということになります。
その要素の数は、
５００　÷　１８　＝　２７　…あまり１４
２００　÷　１８　＝　１１　…あまり２

なので、２００以上５００以下で１８の倍数の一番小さい要素は、１８×１２、一番大きい要素は、１８×２７
要素の個数は、　２７　－　１２　＋　１　＝　１６個

（要素の個数は、１８×１２、１８×１３…１８×２６、１８×２７と１８の１２倍から２７倍までが要素となるので、１２から２７までの個数ということになる。）

２）　ＡとＢの和集合　Ａ∪Ｂ　となりますね。

和集合の要素の数は、それぞれの集合の要素の数を足して、双方が重なって二重にカウントされている共通集合の要素の数を引きます。

Ａの要素の数は、（１と同じ計算方法）　５０個

Ｂの要素の数は、（１と同じ計算方法）　３３個

共通集合は１）で既に計算しているので、５０＋３３－１６＝６７個

（計算間違いしてたらごめんなさい）

＞(1)の方法で答えが出ると勘違いし、テストに望んだ所、結果は散々でした。
計算式（そもそも間違っている）を丸暗記しても、その意味が分かっていないと応用出来ないですよ。

簡単な例をあげて、例えば１０から２０までの自然数で、ｘｘの倍数、ｘｘｘの倍数の集合の要素の数、共通集合、和集合の要素、などを書き出してみて、ベン図も書いてみて検証してみてください。

また、自然数ｘｘｘ～ｘｘｘｘの間のｘｘｘｘの倍数、というのは小学校の時すでにやっているかと思いますが、これも数直線などを書いて、簡単な例で検証してみると、単にその差を割っても答えにならないことが分かると思います。

ご参考に。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

回答No.3

reslee

ベストアンサー狙いますよ！！
１ずれとか、割り算のあまりを無視してね。簡潔にいきます。

考え方は、悪くありませんが、３００÷１８が違います。それだと１～３００じゃないですか！

(1)５００÷１８＝２７
(2)２００÷１８＝１１

(1)で１から５００まで、(2)で１から２００までです。この問題は、２００から５００なので

答　２７-１１＝１６となります。　たまたま１６で一致してましたね！！後は同様にできます！

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

B-juggler

基本的なことはＮｏ．１さんの回答で終わっているので、

ベストアンサーはそちらに。

質問者さんの理屈で行くと、こういう問題がおかしいことになる。

「１～１００までの奇数のうち、２の倍数でかつ４の倍数はいくつあるか？」

奇数は５０個ある。

２の倍数でかつ４の倍数は　つまり４の倍数だ。最小公倍数は。

５０／４＝１２．５　Ａ．１２個

勝手に作っちゃダメだよ～～。作ったら確実に正しいことを示さないと！

＞やはり間違っていたのでしょうか？

違う。そもそもこの発想が正しいと思っていることが間違い。

こういうことで躓くのはいい機会でもあるけど、余り感心しない。

この回答見たら、数字を理解しているんだろうか？　と、思うかな？

基本に立ち返ってくれるかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

代数学の元非常勤講師でした。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

halcyon626

計算の仕方が間違ってるのでしょう。
いえ、そもそもこの問題は、計算というよりも頭で考える問題です。

1,(1)
６と９の最小公倍数１８より、
{１８×１２、１８×１３、・・・・・・、１８×２６、１８×２７}
よって、２７－１２＋１＝１６

2,(1)
５と８の最小公倍数４０より、
{４０×３、４０×４、４０×５}
よって、５－３＋１＝３

題意を満たす整数を、地道に検算するのが普通です。
この場合、定められた範囲において、問題となる数字が何個あるのか？
それを１つ１つ（実際は、一番前と後ろの数字を２，３個数えるだけで良いのですが）吟味し、計算して求めていくことになるのです。

逆に質問してみたいのですが、３０１÷１６や、１０１÷４０は、
どのような考えで、計算式を立てたのでしょう？
数字から読み取るに、題意の範囲内の整数の個数を割っただけのように見えます。
後者の式が良い例ですが、
１００から２００までは、１０１個の整数があって、それを最小公倍数の４０で割ったところで答えは出なかった。
当たり前ですが、問題に対応した式を作れていないから、こうなります。

式の立て方。考え方に問題があったのです。
何故、このような式になったのか？この式は何を意味するのか？
よく考えてみてください。
質問者さまの式の立て方だと、範囲内の整数の個数を、単に１６、４０のグループに分けようとしているだけです。
題意と全く関係無いですよね？

問題が意図していること。どのような式を立てれば良いか。
しっかり考えてみましょう。

参考までに、

お礼

回答ありがとうございます。