最小公倍数と最大公約数の関係について

質問

最小公倍数と最大公約数の関係について

小学校に通っている妹の宿題を教えていたとき
最小公倍数と最大公約数の問題がありました。

自分は今まで何となく解いていましたが
あることに気が付きました

a,bがあり　
この2つの最小公倍数は、a,bそれぞれをa,bの最大公約数で割ったものの積に
a,bの最大公約数を掛けたもの

どうでしょうか？
もしこれが正しい場合(実際に上記の公式はありますか？)
証明はどのようにすればよいのでしょうか？

回答宜しく御願い致します。

回答No.4

Ishiwara

【定理】ＡとＢとの（最大公約数）Ｘ（最小公倍数）＝ＡＸＢ
あなたの発見した関係は、この定理から簡単に導くことができます。

定理の証明：
(1)共通する素因数のそれぞれについて、
最大公約数の因数の数は、Ａ、Ｂの因数の数のうち少ないほうを採る。
最小公倍数の因数の数は、Ａ、Ｂの因数の数のうち多いほうを採る。
(2)したがって、（最大公約数）Ｘ（最小公倍数）の中のその因数の数は、ＡＸＢの中のその因数の数の和に等しい。
(3)共通しない素因数のそれぞれについては、最大公約数には含まれず、最小公倍数にはそのまま含まれるので、(2)が成立する。

例：
Ａ＝2・3・3・5
Ｂ＝2・2・3・7
2についてみれば、少ないほうは1個、多いほうは2個
3についてみれば、少ないほうは1個、多いほうは2個
5,7は共通しない。
したがって、最大公約数＝2・3、最小公倍数＝2・2・3・3・5・7
（2・3・3・5）Ｘ（2・2・3・7）＝（2・3）Ｘ（2・2・3・3・5・7）

回答No.3

Tacosan

ああ, ab = dl の証明に素因数分解の一意性はなくてもいいや.
全て 0 でないときに「ac が bc の倍数」なら「a が b の倍数」ということさえわかれば証明できる. ただし背理法は使う, かな?

回答No.2

B-juggler

こんばんは　同じく最小公倍数をｌ、最大公約数をｄ　としますね。

ｌ＝（ａ／ｄ）×（ｂ／ｄ）　＝　（ａ×ｂ）／ｄ

よって、ｌｄ＝ａｂ

これのことかな？

公式があるのかどうかは分かりませんが（多分無いような気がするけれど）、

素因数の一意性　と言うのがあって、ほぼ自明なんじゃないかな？

最大公約数と、最大公倍数を掛けた物は、元になった数の積

ほかに表しようが無いはずなんですよね。←これが一意性です。

　＃ａとｂの最大公約数は　ｄ　しかでない。
　＃同じく、最小公倍数も　ｌ　しかでない。

で、最大公約数ｄは　ａ＝Ｐ1＾ｎａ1×Ｐ2＾ｎａ2　・・・・・・・

　Ｐｎは素数、ｎａ1・・・・はゼロを含くませた自然数（因数分解した形です）

同じように　ｂも表すと、最大公約数が表せますよね。

最小公倍数も書けますね。　で、ｄとｌとおいて、掛け算すると、ａ×ｂになっているはず。

証明はこんな感じになるかと思いますよ。

　　＃両方素数でやってみると、かなり簡単に出ますよ

ただ、これ自明でいいと思うけれども＾＾。

よく気が付かれましたね♪　言われないときが付かないことですね♪

　大学で、ユークリッドの互除法をしっかりやると、でてくるかな？

代数学屋なんだけど、よく気が付かれました　（＾＾）ｂ

回答No.1

Tacosan

a と b の最大公約数を d, 最小公倍数を l とすると
ab = dl
です. これと同じことですから, これを証明すればよく, 素因数分解が一意であることを前提においていいなら簡単.