教えてください(一般教養レベルの数学)

質問

数学が大変苦手で、困っています。全問でなくても構いません。可能な範囲で教えてください。お願いします。

●正六角形の対角線は何本か

もちろん図に描けば、すぐ分かってしまうのですが、同類の問題（正ｎ角形の対角線は何本か）が出されても解けるように、解説をお願いします。

●１本２０円の鉛筆をｍ円、６０円の鉛筆をｍ円、あわせて２ｍ円買った。これらの鉛筆の１本の平均値段を求めよ

問題の意図が分かりません・・・。答えは３０円だそうです。

●教会へ４日ごとに来る人と、６日ごとに来る人とが土曜日に会った。この２人が再び土曜日に会うのは何日後か

これは、「４，６，７」の最小公倍数を求めたら良いのでしょうか？？公倍数の概念は分かるのですが、確実に「最小」を求める方法を教えてください。

●２０！は末位から何桁目まで０がつくか

全く分かりません・・・。「！」が２０×１９×１８×・・・×１を意味する(?)ということは理解しています。

●１０をいくつかの自然数の和に分解し、それらの数が積をつくるとき、最も大きい積はいくつか

「全て書き出して、何となく分かる」という状態です・・・。

●ａ2＋２ａｂ＋ｂ2、ａ2－ａｂ－２ｂ2、ａ2－ｂ2の最大公約数を求めよ

半角数字は平方のつもりです。

回答No.9

fulkrogner · ベストアンサー

とりあえず全部答えてみます。

●正六角形の対角線は何本か
ｎ角形の場合、当然角はｎ個ですね。
それぞれの角から対角線を引ける角の数は、ｎ－2で求められます。
　※両隣りの角には対角線が引けないので

ここでｎ×（ｎ－2）とすると、同じ対角線を2回カウントしてしまうので、最後に2で割ります。
　※角Ａ～角Ｂの線と角Ｂ～角Ａは1本と数えなければいけないので
よって、対角線の数を導き出す公式は、
　ｎ×（ｎ－2）÷2
となります。

●１本２０円の鉛筆をｍ円、６０円の鉛筆をｍ円、あわせて２ｍ円買った。これらの鉛筆の１本の平均値段を求めよ

問題を方程式に当てはめると、
20円×(ｍ÷20)本＋60円×(ｍ÷60)＝２ｍ円　となるので、
全部で(ｍ÷20)＋(ｍ÷60)本の鉛筆を２ｍ円買ったことになるわけです。
よって、1本あたりの平均額は
　２ｍ÷｛(ｍ÷20)＋(ｍ÷60)｝＝30
で求められます。

●教会へ４日ごとに来る人と、６日ごとに来る人とが土曜日に会った。この２人が再び土曜日に会うのは何日後か

まず、４と６の最小公倍数を求めます。
それぞれを因数分解すると２×２と２×３となるので、
（２×２）×（２×３）で公倍数は求められますが、
最小公倍数を求めるためには、双方に共通する因数は1回しか掛けてはいけないので、
　２×２×３＝１２が最小公倍数となります。

続いて１２と７の最小公倍数を求めますが、こちらは双方に共通する因数がないので、
　１２×７＝８４が単純に最小公倍数となります。

よって、４、６，７の最小公倍数は８４です。

●２０！は末位から何桁目まで０がつくか

掛け算で下一ケタがゼロになるのは、偶数に５の倍数をかけたときのみです。
なぜかというと、１０を因数分解すると２×５となるからです。
１×２×・・・×１９×２０と掛けていくと、
５の倍数を掛けるタイミングは５、１０、１５、２０の４回ですから、
２０！の末位のゼロの数は「４」になります。

●１０をいくつかの自然数の和に分解し、それらの数が積をつくるとき、最も大きい積はいくつか

これは全て書き出すしかないかも。
２×２×３×３＝３６が最大でしょうか・・・。

●ａ2＋２ａｂ＋ｂ2、ａ2－ａｂ－２ｂ2、ａ2－ｂ2の最大公約数を求めよ

うーん。難しいな。
全部ａ＋ｂで割ると、
ａ＋ｂ、ａ－２ｂ、ａ－ｂとなるので、答えは「ａ＋ｂ」でしょうか。

回答No.1

tokioyasubay

１番
ｎ角形だとすると、答えは

ｎ（ｎ－３）／２です。

６角形で考えるとわかりやすい。ひとつの頂点からは、その頂点と両隣の頂点には対角線が引けませんから、（ｎ－３）本の対角線が引けます。
頂点はｎ個ありますから、（ｎ－３）にｎを掛けます。
そうすると、同じ対角線が２回勘定されますから、２で割ります。

２番以下は、おあとがよろしいようで、私は退場。

お礼

とても分かりやすい解答をありがとうございます！！
納得です。もう何角形が来ても大丈夫です♪