最大公約数と最小公倍数

質問

この問題のことが分かりません教えてください(>_<)

44、78、112のどの数も自然数Aで割ると10余り
これは最大公約数で解く

自然数Bを12、18、30のどの数で割っても3余る
これは最小公倍数で解く

どういう理屈で最大公約数と最小公倍数を使い分けるのですか？

回答No.6

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

「使い分け」というほどのことではありません。
そういう考え方をしてしまうと、少し違う問題に出会えば転びます。
脳を清めて、一から考えるのみです。

私自身も、ぱっと「これは最大公約数だ」という発想はできません。
解いているうちに、「最大公約数」とめぐり合うわけです。

＞＞＞44、78、112のどの数も自然数Aで割ると10余り

まず、　Ａ＞１０　です。（余りは割る数より小さいので。）
そして、３つの数から１０ずつ引きます。
すると、３つともＡで割り切れるはずです。
１０ずつ引くと、３４、６８、１０２　になります。

３４　＝　２　×　１７
６８　＝　２^2　×　１７
１０２　＝　２　×　３　×　１７
よって、割る数Ａの候補としては、
２、１７、２×１７（＝３４）
の３通りがありますが、Ａ＞１０　なので、
１７　と　３４　の２つが答えです。

あるいは、「最大公約数である３４の３つの約数のうち、１０より大きいもの」とも言い換えられます。

＞＞＞自然数Bを12、18、30のどの数で割っても3余る

これは、Ｂから３を引いて
Ｃ　＝　Ｂ－３　と置けば、
Ｃ　÷　１２　＝　整数その１　あまり０
Ｃ　÷　１８　＝　整数その２　あまり０
Ｃ　÷　３０　＝　整数その３　あまり０
となります。
（この問題では、１２、１８、３０は、どれも余り（＝３）より大きいですね。）

つまり、
Ｃ　＝　１２×整数その１　＝　１８×整数その２　＝　３０×整数その３
Ｃ　＝　（２^2×３）×整数その１　＝　（２×３^2）×整数その２　＝　（２×３×５）×整数その３

Ｃが（２^2×３）でも（２×３^2）でも（２×３×５）でも割り切れるためには、
Ｃは、（２^2×３）と（２×３^2）と（２×３×５）の公倍数でなければいけません。
最小公倍数は、２^2×３^2×５　＝　１８０　なので、
割る数の候補としては、１８０、３６０、５４０、７２０、９００・・・
がありますので、Ｃの候補も
Ｃ　＝　１８０、３６０、５４０、７２０、９００・・・
です。

そして、
Ｂ　＝　Ｃ＋３　＝　１８３、３６３、５４３、７２３、９０３・・・
　＝　１８０ｎ　＋　３　　　（ｎは自然数）

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ご親切な回答ありがとうございます(>_<)☆

とても参考になりました(>ε<)

回答No.5

noname#107596

＃３です。訂正を。

＞１０２＝２×３×５＝c×Ａ

１０２＝２×３×１７

です。すみません。

アドバイスですが、
今後そのような疑問だ出てきたときは
「２つの問題に対して、２つの方法をどのように使い分けるのかではなく、
一つの問題に対して、その１つの方法なぜ使う必要があるのか」
を考えてみると良いのではないでしょうか。

回答No.4

debut

６を自然数Ａで割ると割り切れる、といえば自然数Ａは２とか３
とかいった６の「約数」ですよね？

自然数Ｂを６で割ると割り切れる、といえば自然数Ｂは１２とか
３０とかいった６の「倍数」ですよね？

ということがおおもとです。

だから、44,78,112のどの数も自然数Ａで割ると10余るというのだから
余りを引いた34,68,102のどれもが自然数Ａで割り切れることになり
結果、どの数も割り切れる最大公約数を考え、その約数のうち10
より大きいものを考えることになります。
もう一方の方は、自然数Ｂが12でも18でも30でも割り切れるような
つまり公倍数を考え、それに余り３を加えることになるんです。

回答No.3

noname#107596

使い分けるのではなく、なぜ使う必要が出てくるかを考えた方が良いと思います。

＞44、78、112のどの数も自然数Aで割ると10余り

式にすると（a,b,cは自然数）
４４＝a×Ａ＋１０
７８＝b×Ａ＋１０
１１２＝c×Ａ＋１０

なので、
３４＝a×Ａ
６８＝b×Ａ
１０２＝c×Ａ

さらに、
３４＝２×１７＝a×Ａ
６８＝２×２×１７＝b×Ａ
１０２＝２×３×５＝c×Ａ

Ａは３４，６８，１０２、全ての約数なのだから
最大公約数で解く。

自然数Bを12、18、30のどの数で割っても3余る

式にすると（d,e,fは自然数）
Ｂ＝d×１２＋３
Ｂ＝e×１８＋３
Ｂ＝f×３０＋３

なので
Ｂ－３＝d×１２
Ｂ－３＝e×１８
Ｂ－３＝f×３０

Ｂ－３は１２，１８，３０、全てに対して倍数なので
最小公倍数で解く。

（最大公約数、最小公倍数で解くということは、
最小のＡ、Ｂを求める問題なのだと判断しました。
そうでない場合、答えが複数（無数）にあることも考えられます。）

回答No.2

char2nd

(1) 44、78、112のどの数も自然数Aで割ると10余り

　これは、44、78、112のそれぞれの値から10を引いた数がＡの倍数になっている、と云うことでしょう。つまり、Ａはそれぞれの値から10を引いた数の公約数になっています。
　ただし、公約数ならどれでも良い、ということにはなりません。あまりが10ということは、Ａは10よりも大きくなければなりません。従って、最大公約数で考えれば間違いがない、ということになります。

(2) 自然数Bを12、18、30のどの数で割っても3余る

　Ｂから3を引いた値が、12、18、30の倍数になっている、ということです。つまり、それぞれの値の公倍数に3を加えた値がＢです。
　この場合、公倍数と云うだけだとほぼ無限に答えが出てしまいます。そのため最小公倍数で考えておくのが一般的です（他に条件があれば別ですが）。

回答No.1

info22

Aは割る方なので
最大公約数で解く。
(44-10)/A=33/A
(78-10)/A=68/A
(112-10)/A=102/A
すべてAで割り切れるので
Aは33,68,102の最大公約数

(B-3)は割られる方なので
なので最小公倍数で解く。
(B-3)/12,(B-3)/18,(B-3)/30
(B-3)は、すべての分母で割り切れるので、
(B-3)は 12,18,30の最小公倍数

というわけ。