数学

質問

おねがいします。

全然わかりません。
詳しくおねがいします
すいません。
だれか教えて

A=X＾4＋X＾3＋２X＾2＋X＋１
B=X＾4＋２X＾3＋3X＾2＋2X＋１

の最大公約数、最小公倍数を求める問題です

回答No.6

student_of_kit

A = x x x x + x x x + 2 x x + x + 1
B = x x x x + 2 x x x + 3 x x + 2 x + 1

x x x x + x x x + x x + x + 1 !| A
x x x x + x x x + x x + x + 1 | B

x x x + x | A
x x x + x | B

だから答えは x x x + x

回答No.5

graphaffine

因数分解は必要ありません。
ユークリッドの互除法を調べて下さい。

回答No.4

fushigichan

ai402さん、こんばんは。
普通この手の問題は、それぞれを因数分解して
因数の積の形に表してみればいいですね。

ところが、このAとBは、一次の因数を持たないので、難しそうです。
前回の質問の＃１さんのやり方はとてもスマートだと思います。
A=G*A'
B=G*B'
と、それぞれおくことができます。Gは最大公約数ですね。
ここで、A-B=G*(A'-B')を求めてみれば、
A-B=G*(A'-B')=-(x^3+x^2+x)=-x(x^2+x+1)
ここで、AもBもxという因数は持たないので
A-B=-x,G=(x^2+x+1)
だということが分かります。
あとは、それぞれを最大公約数で割ってみればいいですね。

また、別の方法として、一目でA,Bがx^2+x+1で割り切れるということを
見抜くことができます。
Aのｘの係数は、それぞれ、１，１，２，１，１です。
Bのｘの係数は、それぞれ１，２，３，２，１となっています。
左右対称になっていますね？
このようなｘの高次式は、x^2+x+1で割り切れます。

試しに、割ってみましょう。
A=x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^2+1)
B=x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)(x^2+x+1)
すると、
最大公約数は、x^2+x+1
最小公倍数は、(x^2+1)(x^2+x+1)(x^2+x+1)
であることが、すぐに分かります。

見当をつけて、実際に割ってみるのがいいでしょう。
頑張ってください。

回答No.3

jmh

互除法。
Ｂ÷Ａ＝１…Ｘ^３＋Ｘ^２＋Ｘ。
　　Ａ　　÷Ｘ^３＋Ｘ^２＋Ｘ＝Ｘ…Ｘ^２＋Ｘ＋１。
　　　　　　Ｘ^３＋Ｘ^２＋Ｘ　　÷Ｘ^２＋Ｘ＋１＝Ｘ。
ＧＣＤ＝Ｘ^２＋Ｘ＋１。
検算してみてください。

回答No.2

kony0

前の質問の
#1さん「Aを割り切れる・・・」
のヒントから、整式の割算→割り切れるといえば→因数定理→因数分解しよう！→A,Bの因数分解で共通な因数が出てくる→それが#2のGに相当するのね！
ってな感じで、頭を働かせるものです。

解き方をそのまま書いてもらうことが勉強ではありません。（解き方を書いてもらっても、今までのヒントから上の考え方の流れを読み取ることなしに、考え方は身につきません。）

前の質問の#2の回答から、もとの整式Aを積の形で書き表している→整式を式の表現に直すといえば・・・→因数分解！

と、どの回答をみても、因数分解を発想させるものです。

今回、#1さんに、明示的に「因数分解して」と書いていただいていることもあり、まずは因数分解しましょう。

この因数分解は、かなり難しいものかもしれませんが、ヒントになるのは、まさに前の質問の#1のやり方です。
「AとBの公約数（因数分解したときに出てくる同じ因数）があれば、それはAとA-Bの公約数でもある。その逆も成り立つ。」

もしくは、この問題に関しては「相反式」という考え方でもよいですよ。

たとえば、
x^4+x^3+2x^2+x+1
=x^2*((x^2+1/x^2)+(x+1/x)+2)
ここで x+1/x=tとおくと、
与式=x^2*(t^2-2+t+2)=x^2*t(t+1)=x^2*(x+1/x)(x+1/x+1)=(x^2+1)(x^2+x+1)

補足

ありがとう
たとえば、
＞x^4+x^3+2x^2+x+1
=x^2*((x^2+1/x^2)+(x+1/x)+2)
ここで x+1/x=tとおくと、
与式=x^2*(t^2-2+t+2)=x^2*t(t+1)=x^2*(x+1/x)(x+1/x+1)
まではわかったのですが、
その後の値
（x^2+1)(x^2+x+1)
にはどうやるのでしょうか？
おしえてください

回答No.1

jppy

１．因数分解して
２．最大公約数、最小公倍数を探す
だと思う。解けなそうなのでここまでしか書かない