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数学の証明を教えてください。
以下の証明を教えてください。 「aとbの最小公倍数が1ならば、a-bとa+bの最小公倍数は1または2である。」
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そりゃ、最小公倍数じゃなくて最大公約数ではないだろうか。 問題と投稿内容は良く見るが吉。 ａ＋ｂ と ａ－ｂ が 共通の素因数ｐをもつとしましょう。 つまり、ａ＋ｂはｐの倍数、ａ－ｂもｐの倍数です。 ａとｂをｐで割った余りをそれぞれｉ，ｊとすると、 ａ＝ｎｐ＋ｉ ｂ＝ｍｐ＋ｊ と書けます。ｍ，ｎは整数、ｉ，ｊは0以上ｐ未満の整数です。 ａ＋ｂがｐの倍数ってことは、 ａ＋ｂ＝ｎｐ＋ｍｐ＋ｉ＋ｊ＝（ｍ＋ｎ）ｐ＋（ｉ＋ｊ）がｐの倍数ってことでｉ＋ｊがｐの倍数です。 同様にａ－ｂがｐの倍数ってことは、 ａ－ｂ＝ｎｐ－ｍｐ＋ｉ－ｊ＝（ｍ－ｎ）ｐ＋（ｉ－ｊ）がｐの倍数ってことでｉ－ｊがｐの倍数です。 ｉ－ｊがｐの倍数ってことは、つまりｉ－ｊ＝０、ｉ＝ｊでなきゃいけません。 ここで、ｉ＋ｊがｐの倍数ってことは、ｉ＝ｊだから２＊ｉがｐの倍数です。 ２＊ｉ＝０ のとき、ｉ＝０となって、ｊ＝０。このとき、ａもｂもｐの倍数になって 「ａとｂの最大公約数が１」っていう題意に反するのでこれはＮＧ。 ２＊ｉ＝ｐのとき、ｉ＝ｐ／２、ｊ＝ｐ／２となります。ｉ，ｊは整数なのでこのときｐは２。 当然だけど、２＊ｉ＝ｙｐ （ｙは２以上の整数）にはならない（ｉはｐ未満）ので、 以上から、 ａ＋ｂ と ａ－ｂ が 共通の素因数ｐをもつなら、ｐは２。 （共通の素因数を持たないことがある、すなわち最大公約数が１になることもあることを示した 方が親切かもしれないけど、出題への回答としては以上をもって） 「aとbの最大公約数が1ならば、a-bとa+bの最大公約数は1または2である。」
お礼
打ち間違いでした。 すみません。 そこも考慮して頂いて、回答ありがとうございます。 参考になりました。