整数について。

質問

(1)最大公約数と最小公倍数の和が51であるa,b（a ＜b)の組は、？組あり、最大のa の値は、？である。
(2)和が546で、最小公倍数が1512である2つの正の整数を求めよ。
この2問にご教授願いたいです。すみません。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

(2)
(1)と同様に、2つの自然数をa, bとし、最小公倍数 = L, 最大公約数 = Gとする。
a = Ga', b = Gb'（a', b'は互いに素な自然数）
a + b = G(a' + b') = 546
L = Ga'b' = 1512
546と1512の最大公約数 = 42だからG = 42
このときa' + b' = 13, a'b' = 36
よってa', b'はt^2 - 13t + 36 = 0の2解
(t - 4)(t - 9) = 0, t = 4, 9
よって(a', b') = (4, 9), (9, 4)
∴(a, b) = (168, 378), (378, 168)

回答No.1

asuncion

(1)
aとbの最大公約数 = G, 最小公倍数 = Lとする。このとき、
a = Ga', b = Gb'（a', b'は互いに素な自然数）
GL = ab = G^2・a'b'より、L = Ga'b'
L + G = G(a'b' + 1) = 51
L, Gは自然数だから
(G, a'b' + 1) = (1, 51), (3, 17), (17, 3), (51, 1)
(G, a'b') = (1, 50), (3, 16), (17, 2), (51, 0)
(51, 0)は不適
i) (G, a'b') = (1, 50)のとき
(a', b') = (1, 50), (2, 25), (5, 10)
(5, 10)は不適
(a, b) = (1, 50), (2, 25)
ii) (G, a'b') = (3, 16)のとき
(a', b') = (1, 16), (2, 8), (4, 4)
(2, 8), (4, 4)は不適
(a, b) = (3, 48)
iii) (G, a'b') = (17, 2)のとき
(a', b') = (1, 2)
(a, b) = (17, 34)
以上より、条件を満たす(a, b)の組は４つあり、それらのうち
aが最大となるのは17