tan(x)はフーリエ級数に展開可能？

質問

L^2に属する関数はL^2ノルムの近似の意味でフーリエ級数展開ができるが、L^2に属さない関数はフーリエ級数展開してはいけないということではないと思います。実際、クーロンポテンシャルの様にL^2に属さない関数のフーリエ変換が必要になることはしばしばあります。区間[-π/2,π/2]で形式的にフーリエ展開すると
　tan(x)～2(sin(2x)-sin(4x)+sin(6x)-sin(8x)+…)
になると思います。右辺の関数のグラフを描いてみると振動が大きいが平均すればtan(x)に近いようにも見えます。したがってtan(x)はL^2の意味ではフーリエ展開できないが、振動を平均化する操作を行えばフーリエ展開可能とも考えられます。tan(x)は何らかの意味でフーリエ級数に展開可能と考えることはできるのでしょうか。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

まったく参考にはならないかも知れませんが。

tan(X)は局所可積分にもならないと思うので、普通のやり方だとうまくいかない気がするから、[-π/2,π/2]に制限するか、あるいはR-{(2n+1)π/2}_{n∈Z}上の一般のdistribution、つまりR-{(2n+1)π/2}_{n∈Z}上にコンパクトな台をもつテスト関数を考えて、そのdualであると思う。そのような方法で、tan(X)も右辺の
2(sin(2x)-sin(4x)+sin(6x)-sin(8x)+…)
もともにある意味での超関数だと思うことができて、そしてたぶん右辺はその超関数のノルム（というかたぶんセミノルムしか入りませんが）で収束することが言えるんじゃないかと思います。

もしかすると、tan(X)以上に
2(sin(2x)-sin(4x)+sin(6x)-sin(8x)+…)
はあやしい動きをしている可能性もあって、上の意味の超関数にもなっていないかも知れません。そうなるともはやこの展開に意味づけをするのは無意味なことなのかもという気がしてきます。そもそもフーリエ正弦係数が、とびとびでですが、±2で永遠に続いているわけですし。特にたとえばx=π/4とでもしてみれば、この無限和は収束すらしていません。でもおそらくうまくいっているのであれば、その平均（つまり正弦級数展開の部分和平均）のようなものを考えていることになるかも知れない気も確かにしました。

1-1+1-1+1-1+…

はいくらになるのかなぁ、と思いました＾＾

お礼

御回答ありがとうございます。
　fn(x) = 2Σ(k=1～n) (-1)^(k+1) sin(2kx)
とおくとlim(n→∞)fn(x) が収束しないxがあることはあまり問題ではないと思います。フーリエ変換のL^2理論でもほとんどいたるところ等しい関数は区別しません。物理学では激しく振動する関数の積分は消えるという考え方をしばしば用います。ずいぶん大雑把な表現ですが、リーマン=ルベーグの定理よりφ(x)を滑らかな性質の良い関数とすると
　k→∞のとき　∫sin(2kx)φ(x)dx → 0
が成立します。したがって任意のφ(x)について
　∫(-π/2～π/2)tan(x)φ(x)dx
　= lim(n→∞)Σ(-1)^(k+1)∫(-π/2～π/2)sin(2kx)φ(x)dx
が成立すると言う意味で
　 tan(x) = lim(n→∞)Σ(-1)^(k+1) sin(2kx)
が言えるのではないかと思います。このような「積分に寄与しない様な振動を除いた」収束は応用数学では割と出てきます。ところが大抵の物理数学の本ではL^2理論に終始しているのは物足りないように思います。なお
　2(sin(2x)-sin(4x)+sin(6x)-sin(8x)+…)
のチェザロの総和をとるとx=π/4 で１となりtan(π/4)と一致します。