フーリエ級数の問題です。

質問

フーリエ級数の問題です。
（１）、αはZの要素ではないとする。ｆ（ｘ）は周期２πの関数で、ｆ（ｘ）＝cosαｘ、（－π＜ｘ≦π）を満たすとする。R上でフーリエ級数に展開せよ。
（２）、得られたフーリエ級数にｘ＝０を代入し、１/sinπαをあらわす級数をもとめよ。また、得られたフーリエ級数にｘ＝πを代入して、１/tanπαｘをあらわす級数をもとめよ。（どちらとも、部分分数分解）
よろしくお願いします。

回答No.1

osn3673

くし型関数 comb(x) を使うと(1)は非常に見通しのよい話ができます．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8F%E3%81%97%E5%9E%8B%E9%96%A2%E6%95%B0
にある comb(x) の式で T=2π として f(x)=g(x)*comb(x) (* は畳み込み積分）
すなわち g(x)=f(x) ( |x|<π ), g(x)=0 (その他) となる g(x) を用いると，
f(x) のフーリエ変換は g(x) のフーリエ変換と comb(x) のフーリエ変換の積になります．
comb(x) のフーリエ変換もくし型関数で，個々のデルタ関数の係数が f(x) のフーリエ
級数の係数です．
N.B. αが整数のときはデルタ関数の存在するほとんどの点で g(x) のフーリエ変換の値が
0 となるのでフーリエ係数も 0 になります．