線形代数 対角化

質問

以前、可換かつそれぞれが対角化可能な２つの行列の同時対角化のことで質問をした者です。またお力をお借りしたく投稿しました。

それぞれが可換で、対角化可能な３つの行列、の場合にことを拡張しようと思っているのですがなかなかうまくいきません。どうしたらこの３つの行列が同時に対角化できることを示せるのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

前回のところでも書いたのですが、もう一言だけ。理論的には同時対角化の証明ができましたが、実際にどうやるかここで書いてみます。A,B,Cは全部互いに可換な対角化可能な行列で、簡単のためそれぞれ固有値α1、α2、β1、β2、γ1、γ2をもつとしましょう、そして次のものを求めます。
W(α1)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ2)
そしてここからそれぞれ次元分だけ一次独立なベクトルを取り出して、それを並べた行列を作れば必ず対角化できます。もしもとの行列が4次だとすれば、すくなくとも上のうち4つは0次元のベクトル空間になってつぶれてしまっていますけれど。

僕も同時対角化の証明を理解するまでになんと1年近くもかかった経緯がありますが、これはたぶん難しい問題なんだろうと思います。もう一度理論的な証明を眺められてから、2次元の行列A,Bで同時対角化を実際の計算問題で試してみられたらよいかも知れません。なんとなくその構造が見えてくるのではないでしょうか。

ちなみに上のように各固有空間の共通部分をとったものは、当然互いに直交しますが、これらを全部足し合わせたものの次元が行列の次元に一致する場合が対角化可能になっています。それは、1次独立なベクトルが行列の次数分とれれば正則行列が作られるからですね。逆に行列の次数に満たない場合は1次独立なベクトルが足りなくなります。それは同時に対角化できるような正則行列がとれないことを意味するわけです。そして先ほどの証明は行列が互いに可換だったら、かならず上の固有空間の共通部分を全部あわせたものが行列の次数まで一致することを証明したことになっているのです。

お礼

前回のところも今回も、丁寧に教えてくださってどうもありがとうございます。

時間はかかりそうですが、曖昧でなく正確に理解しながら進められるように時間をかけて努力していきたいと思います。

回答No.3

yumisamisiidesu

2つの場合が成り立つことを利用して
3つの場合を証明
A,B,C:n-sq-matrix
P^(-1)AP,P^(-1)BP:dialog-mat
Q^(-1)BQ,Q^(-1)CQ:dialog-mat
R^(-1)CR,R^(-1)AR:dialog-mat
とすると、このとき、
P=Q=Rになる(ようにとれる)と思います
(その理由はNo1から考えてください)

お礼

ありがとうございます。

基本的なことを理解せずに進もうとするとすぐにひっかかってしまうということを痛感しました。
時間をかけて理解してから進んでいきたいと思います。

回答No.1

yumisamisiidesu

そもそも、対角化の仕方って
対角成分の並び方の違いを無視すれば、一意なんじゃないでしょうか
(∵対角成分は固有値になるから)
その説明だけではダメでしょうか
それ+帰納法を使えば、nこの場合についてもいえますよ

お礼

ありがとうございます。

正直なところ、原理などの本質的なところが理解できなくて、全く応用が利かない様な状況なので、ゆっくりと参考書を読み直しているところです。なんとなく２つの行列の同時対角化は納得したつもりだったのですが・・・応用が利かないところをみるとダメなようです。

もしよろしければ、3つの場合（一般的な話の方が説明が楽でしたらnコの場合）に、何を示すことができたら同時対角化できることが示せるのか、ということについて教えていただけないでしょうか。

ベクトル空間Ｖで考えて、固有値・固有ベクトル・固有空間について、また、Ｖが、ある行列の各固有値に属する固有空間の直和であらされればその行列は対角化が可能である、ということは理解しているつもりです。