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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：線形代数の問題です。またお願いします。）
線形代数の問題：行列のn乗を求める方法について
このQ&Aのポイント
- 独学で線形代数を勉強している方から、行列のn乗の求め方についての質問があります。
- 具体的な行列と変換行列が与えられており、行列のn乗を求めるためにはどのような計算手順が必要か分からないとのことです。
- この問題では、変換行列やジョルダンの標準形についても触れられており、一般的な形で行列のn乗を求める方法を教えて欲しいとのことです。
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質問者が選んだベストアンサー
> 固有値λ＝－２（重解）、1 と，すでに求めているんでしょ。 (x+2)^2(x-1) と言うのは固有多項式det(xI-A)だな。 A^7+3A^6+A^5-A^4+A^3-A^2+3A = (A+2)^2(A-1) (A^4+A^2+I) +3A+4I でケイリー・ハミルトンの定理から (A+2)^2(A-1)=O だということ。
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- Tacosan
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回答No.2
どう「複雑になりすぎ」てるんだろう. そんなに複雑な感じはしないんだが. ちなみに「ケイリー・ハミルトンの定理」は 固有多項式は最小多項式の倍数 ってやつだな. x^7+3x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+3x を (x+2)^2(x-1) で割ったら, 余りはいくら?
質問者
お礼
すいません。 私の理解力が無くて、少し意味が。。。汗 ＞x^7+3x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+3x を (x+2)^2(x-1) で割ったら, 余りはいくら? 余りは3x+4になりましたが これは何なんでしょう？？
質問者
補足
すいません。 あと、 (x+2)^2(x-1) っていうのは、どうやって求めたのでしょうか？ 宜しくお願いします。
- f272
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回答No.1
> 今度こそ、対角化だと思うのですが ケイリー・ハミルトンの定理を使うのが常套手段のような気が...
質問者
お礼
ええ！ ケイリー・ハミルトンの定理ですか・・・ 私の参考書（マセマ）には２次のケイリー・ハミルトンの定理しか 取り扱っていないのですが、３次だとどうなるのでしょう？ しかも、ケイリー・ハミルトンの定理の使い方もろくに取り扱ってないような・・・ すいません。
お礼
固有値とはそういう意味なんですね。 本質を理解せず、ただ機械的に固有値を求めていました。 ということは、 A^7+3A^6+A^5-A^4+A^3-A^2+3A = (A+2)^2(A-1) (A^4+A^2+I) +3A+4I = 0 * (A^4+A^2+I) +3A+4I = 0 +3A+4I となって、 はじめの行列を３倍して、対角の各成分に4を足せばよかったのですね。 大変ありがとうございました。