行列AとBが対角化可能なとき、ABは？

質問

問
行列A,Bがそれぞれ対角化可能なとき、
行列の積ABは必ず対角化可能か？
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上記の問題がわかりません。

恐らく答えは、必ずしも対角化可能ではないと思うのですが、
例を挙げて頂けますでしょうか？

必ず対角化可能、となる場合は証明をお願い致します。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

逆から考えるといのでは？

対角化可能でない簡単な行列として、C = (1,1;0,1) を考えてみる（ C の要素は (第1行第1列,第1行第2列;第2行第1列,第2行第2列) の順に並べた。以下、行を「;」で区切り、各行の中の要素を「,」で区切ることにする）。

次に、対角化可能な簡単な行列として、A^(-1) = (1,0;0,-1) を考えてみる。A^(-1) と C の積を B と置く。 B = A^(-1) C = (1,0;1,-1) は、対角化可能である（ B の固有値が 1 と -1 で、２つの固有値が異なるから、 B が対角化可能だと分かる）。 A も、もちろん対角化可能である。

すると、 C = ABは、対角化な２つの行列の積だが、対角化可能でない。

お礼

ありがとうございます！
逆から考える方法も考えたのですが、
一つの行列を二つの行列の積に直す方法が
わからず挫折しました。
またよろしくお願い致します！