線形代数について

質問

線形代数についていくつか質問があります。
(1)対称行列を対角化する際、固有ベクトルの大きさを1にする必要があるのですか？任意の大きさでは駄目なのですか？

(2)対角化する際、U^-1AUと計算すると思うのですが、これの計算をしなくて、固有値を入れたものをいきなりだしてよいのですか？

(3)根本的な質問で恥ずかしいのですが、行列式で出される値の意味がよく分かりません。行列との関係などを教えてください。

どれか一つでもいいので分かれば教えてください。

回答No.3

nabla

(2)ジョルダン標準化というものを理解してください。
対角化可能ならば確かにその通りですが、固有方程式が重根を持つときは対角成分の１つ上の所に１が出て来る場合があります。

(3)２次正方行列を例にとります。
行列Ａは平面から平面への線型写像を表現しています。
Ａによって三角形１が三角形２に移ったとします。
このときの２つの三角形の面積比はＡに一致します。
３次元であれば正四面体で同じようなことが起こります。
一般のｎ次元では直感的理解はしにくいですが同じようにｎ単体の体積がdetＡ倍されます。

回答No.2

ojisan7

（３）のご質問の意図が分かりました。本当に根本的な問いだと思います。「行列」に対して、「行列式」という特別の用語をつかいますね。「行列」と特別に深い関係にある式だという含みがあるように思われます。わたしも、学生の頃はそのように感じました。しかし、これは、行列にある式（値）を対応させたものという観点からすれば、行列のノルムや、トレースなどと同じです。ですから、なぜ、「行列式」ではなく、「行列式」のもつ意味・・・利用の仕方や、どのような場面で使われているのかということを理解すれば良いと思います。そうすることによって、行列とは密接な関係にある「行列式」の重要さが理解できるのではないかと思います。英語では行列式はdeterminantといいますから、「決定子」というほどの意味でしょうか？こちらの方が、的確な表現のような気がします。

回答No.1

ojisan7

（１）行列を対角化するだけを考えるならば、固有ベクトルを１にする必要はありませんが、この場合は対称行列ですね、対称行列は直交行列で対角化できますから、固有ベクトルを１にしておけば、直交行列が求められます。直交行列であれば、逆行列は簡単です。単に転置するだけでよいのですから。対称行列と限らず、一般的に正規行列の対角化は固有ベクトルを正規化（大きさを１にする）しておいた方が便利です。正規行列はユニタリー行列で対角化できます。

（２）固有方程式を解いて、その解（固有値）を単に対角線上に並べただけでは、ちょっと不安です。行列が対角化可能かどうかを吟味する必要があります。

（３）ちょっと質問の意味が分かりません。すみません。