線形代数について質問です

質問

３次行列
　　｜３　　ａ　　－２｜
Ａ＝｜１　ａ＋２　－２｜
　　｜０　　０　　　２｜
のとき、Ａが対角化可能であるための定数ａの条件を求めよ。
ただし、理由を述べること。

という問題を解いている所なのですが、自分で計算して出してみた所、ａ＝－３が出てきました。
ａはサラスの方法で出したのですが、これは対角化可能であるための定数ａと言えるのでしょうか？
また、今回の問題の理由についてもどう説明していいのかわからないでいるのですが、教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44

あ、しまった。

質問の行列の固有値は、2, 2, a+3 で、
一次独立な固有ベクトルは、a の値によらず 2 個
だから、答えは、a+3≠2 のとき。

解法の間違いを指摘して、答えを間違えたんじゃ、
我ながらしょうもない。

回答No.4

alice_44

行列には、最低でも固有値の個数分だけは
固有ベクトルがありますが、
固有値に重解がある場合には、
解の重複分の個数だけ固有ベクトルがあるとは
限りません。
したがって、固有ベクトルの総数が
行列の次数より小さくなることがありえます。

行列が対角化可能であることは、
固有ベクトルの総数が、行列の次数と一致
することと同値です。

よって、この問題は、
まず、固有方程式に重解がなければ対角化可能。
重解があるような a の値の各々について、
実際に固有ベクトルを求めて、
一次独立な固有ベクトルが、固有値の重複度と同数だけあるかどうか
確認すればよいのです。
質問の行列の固有値は、3, (2/3)a+2, 2 ですから、
a=0 と a=3/2 のとき、固有値が重解となりますが、
a=0 のとき、固有値 2 に対する固有ベクトルは
2 次元あり、
a=3/2 のとき、固有値 3 に対する固有ベクトルは
1 次元しかありません。
したがって、a≠3/2 が問題の答えになります。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1に書いた参考URLの中に解き方が書かれていますので、教科書や参考書で基礎的なことを復習しながら、じっくり取り組んでください。
>必要十分条件は解ったのですが、「ａ≠－１」はどのようにして導き出せばいいのでしょうか？
参考URLの必要十分条件が分かったのなら、その条件を求めるだけ。書いてあることが分からなければ、教科書で基本的なことを復習してやると良いでしょう。全く理解できないならあきらめる。

やることは、A#1の最後に書いた
>正則な固有行列Pの存在する条件
を求めればいいだけです。

この過程を手順を追って書くと以下の通り。

固有行列の求め方はどの教科書でも載っているはず。
まず、
Aの固有方程式から固有値を出して、各固有値に対してそれぞれの固有ベクトルを求める。
固有値の数だけ固有ベクトルが存在しますのでそれらを求める。
つぎに固有ベクトルから固有行列Pを求める。
Pが正則である条件（Pの逆行列が存在すること）から
det(P)≠0　これから　「a≠-1」　が導けます。

（対角化行列は参考URLにあるように「P^(-1)AP」となります。）

なお、あなたがやったa=-3はAの行列式が0になる条件を求めているだけで、この問題とは関係のないことをやっているに過ぎません。いわば、Aの逆行列が存在しない条件を求めただけ。

回答No.2

Tacosan

魔法で出した数値を見せて「どう?」って聞かれてもなぁ.
どういう計算の結果得られたのか, その計算にはどのような根拠があるのかをちゃんと示してくれないと.

補足

定数ａをサラスの方法を使って
（３・（ａ＋２）・２）－（ａ・１・２）
＝６（ａ＋２）－２ａ
ａ＝－３
と出ました。

他にどうやって定数ａを求めたらいいのかわからなかったので知っているやり方で解きました。

回答No.1

info22_

>自分で計算して出してみた所、ａ＝－３が出てきました。
>これは対角化可能であるための定数ａと言えるのでしょうか？
言えません。意味のない計算をしてaを出してもだめです。
ちなみに、答えは「a≠-1」になります。

>今回の問題の理由についてもどう説明していいのかわからない
Ａが対角化可能であるための必要十分条件は何でしょうか？
それがわかっていなければ何をしていいかも分からず、
まして理由など分からないのは当然でしょう。

それをまず教科書や参考書で講義ノートやネット検索で調べてください。
参考URL）↓に対角化可能な必要十分条件が載っています。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/05unitr/040unt.html
これを精読して、正則な固有行列Pの存在する条件を考えて見てください。

補足

読んでみて必要十分条件は解ったのですが、「ａ≠－１」はどのようにして導き出せばいいのでしょうか？
自分でもその答えになるように計算してみたのですが、辿りつけませんでした。
ご教授頂けると有難いです。
よろしくお願い致します。