線形代数 行列 対角化

質問

対角化について質問させて頂きます。

対角化とは、
「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な
対角行列に帰着させること。」
と説明がありました。

ここで、同値とは具体的にどのような内容を指すのでしょうか？

また、対角化を求める際、
正方行列Aに対してP^-1APとなる正則行列Pを求めます。
この正則行列Pは正方行列Aより求めた固有値に属する固有ベクトル
を並べたものになりますが、これはなぜですか？
なぜ、固有ベクトルを並べたものが正則行列Pになるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

P=(v1, v2, .. vn) (vi は列ベクトルでi番目の固有ベクトル)　とすると
AP は固有値の定義から

AP = (λ1 v1, λ2 v2, .. λn vn) (λi は i番目の固有ベクトルvi の固有値)

P^(-1)が P の逆行列なので
P^(-1)vi = ei であることを利用すると
# ここで ei は i番目の成分のみ 1 で他は 0 の列ベクトル

P^(-1)AP = (λ1 e1, λ２ e2, ,, λn en)

すなわち対角行列になります。

「同値」ですが、私の持っている本では「相似」ですね。
相似変換には固有値やランクやトレースなどを変化させないという
重要な性質があります。同値とはこれらが変わらないことを
指しているのかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.5

masudaya

>正則行列を求める場合は、固有ベクトルはどのように並べてもOK
>なのでしょうか？
P=(v1,・・・,vn)としたとき
Avk=λkvk これから
AP=diag(λ1,・・・,λn)P となるので
P^{-1}AP=diag(λ1,・・・,λn)
となる訳です,(diagは対角行列を示す)
このとき,固有ベクトルをいれかえてPを作ると
対角行列の対応する固有値が入れ替わるだけであると
書いてみれば分かると思うのですが.....

>また、n次の正方行列Aには、重複も合わせてn個の固有値が存在
>すると認識しています。
>固有値が縮退とはどのような事でしょうか？
>n次の正方行列で固有値がn個存在しない場合があるという事で
>しょうか？

重複する場合は上の理屈は使えません.線形代数のジョルダンの標準形などを参照ください.
n次の正方行列は正則行列の場合は固有値の重複を含めばn個固有ベクトルがありますが,
正則でない場合は,その限りではありません.
縮退ですが,"固有値 縮退"で調べていただければと思います.
線形代数の正式名称ではないかも物理数学の時に出てきたような気もします.

>対角化とは、
>「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な
>対角行列に帰着させること。」
>についてですが、この同値の意味もご教示頂けないでしょうか？

そうであれば,別の質問を立てていただけませんか.
後から,検索する人のことも考えましょう.

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。

補足でご回答頂いた内容は理解できました。
固有値に対して固有ベクトルを並べなければならない
のですね。

対角化しの同値については、新しい質問を立てます。
お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。

同値が相似であるということが分かりましたので
解決致しました。

なので、新しく質問は立てません。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

itukadarekato

No3の方が言われるように相似と呼ぶのが普通だと思います
相似な変換で移るものを同じ類とみると同値の関係になります

対角化を充分に分かりやすく丁寧に説明した教科書を見たことがありませんが
これは行列の形を変えるというよりも
この行列によって表現される線形変換に都合の良い基底を設定すれば
この基底による行列の表現が簡単になるということが本質です
長さ1の固有ベクトルを探すということは
この都合のよい基底の候補を探すということです
Pの作り方に直結します

固有値が空間の次元より少なければ基底の選び方に自由度が出ます
たとえば零行列を考えれば明らかだと思います
また、対角化できない行列も存在します

No3の方も触れていますが
相似変換で変わらない行列の性質があります
質問に関係する部分で重要なことは
相似変換は固有値を変えないだけではなく
固有ベクトルを変えません
同じ固有値を持つ行列でも固有ベクトルは異なる場合があります
固有値が同じでも相似変換で移れない行列が存在します

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

理解できました。
相似で調べてみるとHitしました。
同値（同値関係）は相似の事なのですね。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

「行列の同値」については調べれば見つかるんだけどなぁ.

補足

ご回答ありがとうございます。

「行列　同値」で検索したのですが、理解できる
サイトが見当たらなかったので質問させて頂いた
次第です。

もとの行列と同値とは、
例えば、行列式が等しい,固有値が等しい,固有ベクトルが
等しいなどかと思いますが具体的に詳しく説明されている
サイトなどありましたら教えて頂けないでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

masudaya

次数nの正方行列Aが異なる固有値λ1,・・・,λnを持っており
それぞれの固有ベクトルをv1,・・・,vnとする.(固有ベクトルは零ベクトルでは無い)

固有ベクトルが1次独立であることを示す.
この固有ベクトルが1次従属とすると矛盾することを示す.
固有値ベクトルのうち1次独立なものをk個とし,v1,・・・,vkとする.
ここで,vs=a1v1+・・・+akvk (s>k)とする.
Avs=λsvs=λs(vs=a1v1+・・・+akvk)であり,
Avs=A(vs=a1v1+・・・+akvk)=λ1a1v1+・・・+λkakvkである.
よって
0=Avs-Avs=λs(vs=a1v1+・・・+akvk)-(λ1a1v1+・・・+λkakvk)
=a1(λs-λ1)v1+・・・+ak(λs-λk)vk
いま固有値は相異なるので,
λs-λm≠0 (m=1,・・・,k)
よって,a1=a2=・・・=ak=0となるが,そうすると,
vs=0となり矛盾がある.
つまり,v1,・・・,vnは1次独立となる.
これから,このvnを並べたPは正則となる.

これは,行列Aの固有値が行列の次数の個数あることが必要です.
固有値が縮退している場合などは少し面倒なので後で考えてください.

補足

ご回答ありがとうございます。

一次独立であることから正則を示すのですね。
理解できました。

因みに、例えば固有値λ1,λ2,λ3に対する固有ベクトルはv1,v2,v3
とする固有ベクトルは3行1列の列ベクトルで表す。
v1,v2,v3と並べて正則行列を作りますが、v1,v3,v2でもv2,v3,v1と
並べても正則行列になりますよね。

正則行列を求める場合は、固有ベクトルはどのように並べてもOK
なのでしょうか？

また、n次の正方行列Aには、重複も合わせてn個の固有値が存在
すると認識しています。
固有値が縮退とはどのような事でしょうか？
n次の正方行列で固有値がn個存在しない場合があるという事で
しょうか？

対角化とは、
「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な
対角行列に帰着させること。」
についてですが、この同値の意味もご教示頂けないでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。