行列対角化問題

質問

3×3行列
A={{2,0,-1},{-2,3,2},{1,0,0}}
は、対角化できるかどうか判定しなさい。
また、対角化できた場合は、
を対角化する行列P
を一つ求めて、P^(-1)AP を計算して対角化して下さい。
対角化できなかった場合、ジョルダン標準形Jにできる行列Pを一つ求めて、P^(-1)AP を計算してJを求めて下さい。

回答No.2

alice_44

P の第1,2,3列を、それぞれ
列ベクトル u,v,w と置くと、
Au = 3u,
Av = 1v,
Aw = v+1w
となっている。
u と v の方程式はスグに解けるから、
v を代入すると、w の方程式も
解ける形になる。
u,v は長さが自由で、不定性を持つが、
選んだ v の値によって、w は変わってくる。

回答No.1

alice_44

行列が
　2　0　-1
　-2　3　2
　1　0　0
なのか、
　2　-2　1
　0　3　0
　-1　2　0
なのか、解らんけど…
とりあえず、
　2　0　-1
　-2　3　2
　1　0　0
にしとく。

A の特性方程式 det(A-λE)=0 を整理すると、
(λ-3)(λ-1)^2=0 となる。
問題は、重根 λ=1 に属する固有空間の次元だが、
rank(A-1E)=2 であることから dim Ker(A-1E)=1 で、
これが λ=1 の重複度 2 より小さいので、
A は対角化できない。従って A のジョルダン標準型は、
　3　0　0
　0　1　1
　0　0　1
と判る。

お礼

行列が
　2　0　-1
　-2　3　2
　1　0　0
です。ジョルダン標準形は理解できました。ジョルダン標準形に対角化する行列の求め方ご教授下さい。