乗法と除法について閉じた有限集合は x^n = 1の解集合になるか

質問

ふと、以下のような命題を思いついたのですが、きちんと証明できません。証明または反証の分かる方は教えてください。

「n個の複素数からなる集合Aが乗法と除法について閉じているならば、Aは方程式 x^n=1 の解の集合と一致する」

なお、以下のことについては分かっているので説明無しに使っていただいても構いません。

(i) Aの任意の元a に対して、ある自然数 p が存在し、a^p = 1となる。
(ii) Aの任意の元a に対して、(i)のようなpのうち最小のものを p1 とすると、{ a, a^2, ... a^p1 }は、方程式 x^p1 = 1 の解の集合と一致する。
(iii) Aの任意の元a に対して |a| = 1 である。ここで |a| は a の絶対値を表す。
(iv) 一般に方程式 x^m = 1 の解は e^(t/m)2πi (t=1,2,...,m) と書ける。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

書き落とされたのだと思いますが，
【相異なるn個の複素数からなる集合A】としないと題意が成立しませんね．
n=10 で， Aの要素は全部1なんてこともできちゃいますから．

(1)　　A = {z_1,z_2,・・・,z_n}
とします．当然，要素の中に同じものはありません．
全部の要素に z_j≠0を掛けてやると，やはり
(2)　　A = {(z_1)*(z_j),(z_2)*(z_j),・・・,(z_n)*(z_j)}
です．
なぜなら，
(a)　乗法について閉じているから(2)の{　}内はすべてAの要素である．
(b)　(2)の{　}に同じものがあれば，
　　すなわち (z_k)*(z_j) = (z_m)*(z_j) となっていれば，
　　z_j≠0 から z_k = z_mとなってもとの(1)のAの中に同じものが
　　あることになってしまう．
だからです．
したがって，
(1)の要素を全部掛け合わせたのものと(2)の要素を全部掛け合わせたのものとは等しく，
(3)　　(z_1)*(z_2)*・・・*(z_n) = (z_1)*(z_j)*(z_2)*(z_j)*・・・*(z_n)*(z_j)
となり，(z_1)*(z_2)*・・・*(z_n)≠0 で両辺を割れば
(4)　　(z_j)^n = 1
が得られます．
n 個の z_j は相異なるのですから，集合Aの要素は相異なる1のn乗根(ちょうどn個)です．

【乗法と除法について閉じているならば】の代わりに
【乗法について閉じているならば】とすれば，
集合Aは
(c)　相異なる1のn乗根
(d)　0および相異なる1の(n-1)乗根
の２通りがあるのはほとんど同じ議論で示せるでしょう．

お礼

明解な証明をありがとうございます。

回答No.1

kansai_daisuki

複素数をαとおくと、
α^k (kは1≦k≦n)は乗法について閉じているのだから、

α^k=α
⇔α^(k-1)=1

ここでs=k-1 (sは0≦s≦n-1)とおくと、
⇔α^s=1

これは除法についても同様。
（証明終了）