有限集合の定義って? {1,2,…}は有限集合?

質問

無限の公理は
∃A;[(φ∈A)∧((￢(x∈A))∨(x∪{x}∈A))]
というものなので
集合Aが無限集合の定義は「(φ∈A)∧(￢(x∈A)∨(x∪{x}∈A)」ですよね。
すると、有限集合の定義は無限集合ではないもの
即ち
Aが有限集合であるとは「￢[(φ∈A)∧(￢(x∈A)∨(x∪{x}∈A)]」
と言う風に書けると思います。
￢[(φ∈A)∧(￢(x∈A)∨(x∪{x}∈A)]は
￢(φ∈A) ∨ ￢(￢(x∈A)∨(x∪{x}∈A))と書け、
￢(φ∈A) ∨ ((x∈A)∧￢(x∪{x}∈A))
したがって、
(Aはφを含まない) ∨ (x∈A)∧(Aはx∪{x}を含まない)

となってしまい、自然数全体の集合から0を差し引いたN＼{0}という集合
{φ∪{φ},(φ∪{φ})∪{φ∪{φ}},…}は有限集合となってしまいますよね。
(∵この集合はφを含んでいないので)

でもこれを有限集合とは到底思えませんよね。
一体何処から間違っているのでしょうか?

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

無限公理の解釈が間違っています。
無限公理は少なくとも一つの無限集合が存在することを保証するための公理であり、無限集合の定義ではありません。
また質問に記載の無限公理はxが束縛されていませんが、これも間違いです。
正しくは
∃A[(φ∈A)∧∀x((￢(x∈A))∨(x∪{x}∈A))]
でしょう。

通常、有限集合は自然数の一つと同型(全単射がある)こと、無限集合は自然数全体の集合からの単射があることで定義します。

お礼

有難うございます。
お陰様で大変参考になりました。

回答No.1

mis_take

無限公理は，無限集合が存在することを公理で規定したものです。
無限集合を定義しているわけではありません。
ある無限集合と一対一対応がつくものは無限集合です。

お礼

ご回答有難うございます。

> 無限公理は，無限集合が存在することを公理で規定したものです。
少なくとも一つは存在している事を保証しているのですね。

> 無限集合を定義しているわけではありません。
> ある無限集合と一対一対応がつくものは無限集合です。
無限公理の集合は
Map(A,B)∋∃f:全単射 such that A⊃B:真部分集合
を満たしているのですね。

逆に
Map(A,B)∋∃f:全単射 such that A⊃B:真部分集合
という集合がAは無限公理を満たす集合とは限らないわけですね。