複素係数のn次方程式の解の大きさを係数で評価する

質問

複素係数の n次方程式
x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + … + a_n = 0
の１つの解をαとするとき，
|α|＜max[1≦i≦n]|α_i| + 1
であることを証明せよ．

(方針)
max[1≦i≦n]|α_i|＝a
とおくと，|α_i|≦a　(i=1,2,…,n)
|α|≧a+1 と仮定して，矛盾を導く。

具体的にはどうすればよいのでしょうか？

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

x = α が x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + … + a_n = 0 の解だというなら
α^n = -a_1 α^(n-1) - a_2 α^(n-2) - ... - a_n
ということだね.

|α|≧a+1 で, この等式は成り立つ?

お礼

ありがとうございます。

x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + … + a_n = 0
の１つの解をαとする。
max[1≦i≦n]|a_i|＝a
とおく。
|α|≧a+1 と仮定すると、
α^n = -a_1 α^(n-1) - a_2 α^(n-2) - ... - a_n
よって、
｜α^n｜=|a_1 α^(n-1) + a_2 α^(n-2) + ... +a_n|
≦|a_1||α^(n-1)|+|a_2||α^(n-2)|+ ... +|a_n|
≦a (|α^n｜- 1)/(|α｜- 1)
≦|α^n｜- 1
これは矛盾するので、|α|＜a+1

ところで、方程式の解の絶対値の評価はこれが最善ではないと思います。
たとえば、|α|=a+0.9になることはありうるのでしょうか?
より細かく評価するにはどうすればよいのでしょうか。

上の式で等号が成り立つとき、係数はすべて同じで、
｜α^n｜=a (|α^n｜- 1)/(|α｜- 1)
ここで、正の実数t=｜α｜とすると、
t^(n+1)-(a+1)t^n+a=0
この方程式の正の実数解をより細かく評価するにはどうすればよいのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

α_i って何?

お礼

まことに申し訳ありません。

α_iは書き間違いで、正しくは、a_iです。