（1）一点集合｛X｝⊂R^n（X∈R^n）

質問

（1）一点集合｛X｝⊂R^n（X∈R^n）

（2）S（X,r）＝｛Y∈R^n；｜X-Y｜＜r｝
の内点が存在しないことは感覚的には分かるのですが，これを綺麗に示すとしたらどうすればよいでしょうか？

任意の点について，そのε近傍自体がもとの集合に丸ごと入るようなε＞0が存在しないことを言えばいいと思うのですが，それを言葉で綺麗に表現できません．

よろしく願いします．

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

int({x})=({x}の内点の集合)とする
int({x})⊂{x}
R^n-{x}⊂R^n-int({x})
R^n-int({x})　は　R^n-{x}　を含む閉集合で
cl(R^n-{x}) は　R^n-{x}　を含む最小の閉集合だから
cl(R^n-{x})⊂R^n-int({x})

x∈R^n
∀r>0　に対して
S(x,r)={y∈R^n;|y-x|<r}　
e=(1,0,…,0)
y=x+(r/2)*e とすると
|y-x|=r/2<r
y∈S(x,r)∩(R^n-{x})≠φ
x∈cl(R^n-{x})⊂R^n-int({x})
R^n={x}∪(R^n-{x})⊂R^n-int({x})
int({x})=φ
∴{x}の内点は存在しない

回答No.1

koko_u_u

>それを言葉で綺麗に表現できません．

「綺麗に」とはどのような意味なのでしょうか？
綺麗でなく表現できているなら、それを補足にどうぞ。