微分方程式の級数解 a[0] * x^n

質問

微分方程式

　　　　　(d^2 y)/(dx^2) + (1/x) (dy/dx) - (n^2/x^2) y = 0　　　(x>0)

の級数解を、次の問いに従って求めよ。
ただし、n>0とする。

(1) 級数解を

　　　　　y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i

とおいたとき、指数cはどのように求まるか。ただし、a[0] ≠ 0であるとする。

解答
級数解を

　　　　　y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i

とおいて、項別に微分すると

　　　　　dy/dx = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-1)
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)

これを微分方程式に代入して

　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
　　　　　　+ (1/x) * x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-1)
　　　　　　　+ (n^2/x^2) * x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i = 0

　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
　　　　　　+ x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-2)
　　　　　　　+ n^2 * x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i-2) = 0

　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i-1) + (c+i) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] [ (c+i) { (c+i-1) + 1} - n^2 ] a[i] * x^(i-2) = 0
　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i-1+1) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
　　　　　x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0

x^(c-2)の係数について

　　　　　(c^2 - n^2)a[0] = 0

でなければならない。
したがって、a[0] ≠ 0の条件から

　　　　　c^2 = n^2
　　　　　c = ±n

と定まる。

(2) 一般解を級数解で求めよ。

解答
x^(i+c-2) (i=1,2,3,...)の係数について

　　　　　{ (c+i)^2 - n^2 } = 0

でなければならない。
c=nのとき、

　　　　　{ (c+i)^2 - n^2 } = (n+i)^2 - n^2
　　　　　　　　　　　　　　　= 2ni + i^2 ≠ 0

であるから、a[i] = 0 (i=1,2,3,...)となる。
すなわち、これに対応する解は

　　　　　a[0] * x^n　　　　　←これが分かりません

・・・とまだまだ続くのですが、a[0] * x^nになる理由が分かりません。
自分で考えてみますと、

　　　　　Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] * x^(i+c-2) = 0

で、(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になると言ってるのだから、残るはi=0のみ。
i=0:

　　　　　{ (c+0)^2 - n^2 } a[0] * x^(0+c-2) = 0
　　　　　{ c^2 - n^2 } a[0] * x^(c-2) = 0

しかも、c=nなので

　　　　　{ n^2 - n^2 } a[0] * x^(n-2) = 0
　　　　　{ 0 } a[0] * x^(n-2) = 0

・・・x^(n-2)の係数について係数は0という結果になりました。これでいいんですか？？？
たとえ、{ (c+i)^2 - n^2 } = 2ni + i^2としても、i=0なので0ですよね？
このa[0] * x^nはどうやって導いたのでしょうか？
教えてください。お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

模範解答で、y = x^c Σ[i=0,∞] a[i] x^i が
y'' + (1/x)y' - (n^2/x^2)y = 0 の解であるために、
c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,…) が必要であること
を導いたところまでは解ったのですね？

後は、十分性を確認すればよい。
質問文の「自分で考えてみますと」の部分のように計算すると、
c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,…) でさえあれば、a[0] の値には依らず、
Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] x^(i+c-2) = 0 が成立する
ことが判ります。
{ 0 } a[0] x^(n-2) = 0 は、a[0] の値が何であっても成立しますからね。

これにより、c = n かつ a[i] = 0 (i=1,2,3,…) であることが、
y = x^c Σ[i=0,∞] a[i] x^i が微分方程式の解になる必要十分条件と判り、
c と a[i] (i=1,2,3,…) を代入して、
解は y = x^n Σ[i=0だけ] a[i] x^i = a[0] x^n と書ける
ことが解るのです。

お礼

ありがとうございます。

> c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,…) でさえあれば、a[0] の値には依らず、
> Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] x^(i+c-2) = 0 が成立することが判ります。
> { 0 } a[0] x^(n-2) = 0 は、a[0] の値が何であっても成立しますからね。

ああ、確かに！気付きませんでした。

> これにより、c = n かつ a[i] = 0 (i=1,2,3,…) であることが、
> y = x^c Σ[i=0,∞] a[i] x^i が微分方程式の解になる必要十分条件と判り、
c と a[i] (i=1,2,3,…) を代入して、
> 解は y = x^n Σ[i=0だけ] a[i] x^i = a[0] x^n と書けることが解るのです。

なるほど、必要十分条件を確認してから、最初の
　　　　　y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
に代入するんですね（級数解をこうおいたことすら忘れていました）。
流れるような分かりやすい説明でした。
ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

「(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になると言ってるだから、残るはi=0のみ」と書いていますが, 「(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になる」ということがどうしてわかったのですか?

お礼

> 「(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になる」ということがどうしてわかったのですか?

↓この部分です分かりました：

--------------------------------------------------
x^(i+c-2) (i=1,2,3,...)の係数について

　　　　　{ (c+i)^2 - n^2 } = 0

でなければならない。
c=nのとき、

　　　　　{ (c+i)^2 - n^2 } = (n+i)^2 - n^2
　　　　　　　　　　　　　　　= 2ni + i^2 ≠ 0

であるから、a[i] = 0 (i=1,2,3,...)となる。
--------------------------------------------------

(i=1,2,3,...)という前提では、nがどんな数字であろうと、2ni + i^2は0にはなれません(特にi^2がありますので)。
ですから、a[i]が代わりに0になってあげる必要があります。

それとこの問題の答えと何か係わりがあるのでしょうか？
もし、それがヒントだとしたら、まだ気付けてないです。
できればズバッと解答をください。お願いします。