２~n－1は3で割り切れますが

質問

ある図形の問題を考えていて、２~n－1が割れることの予想がついたのですが、どうやって証明するのでしょうか。ｎは1より大です。

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

皆様がおっしゃっているように、nが偶数の場合は3で割り切れ、奇数の場合は3で割り切れません。
(以後、aのn乗のことをa^nと表記します)

公式a^n-1=(a-1){a^(n-1)+a^(n-2)+…+1}を用いた証明を紹介します。

n=2kのとき(nが偶数のとき)
2^(2k)-1=4^k-1=(4-1){4^(k-1)+…+1}=3*{4^(k-1)+…+1}となり、3で割り切れます。
よってこのとき、2^n-1は3で割り切れます。

n=2k+1のとき(nが奇数のとき)
2^(2k+1)-1=2*4^k-1=2*(4^k-1)+1=2*(4-1){4^(k-1)+…+1}=3*{4^(k-1)+…+1}+1=3*2{4^(k-1)+…+1}+1となって3で割ると1余ります。
よってこのとき2^n-1は3で割り切れません。

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.2

eatern27

2~nは2のn乗のことですか？

だとすれば、
nが偶数の時には割り切れ、nが奇数の時には割り切れません。

証明は帰納法か合同式を使えばいいと思います。

お礼

ご指摘ありがとうございました。

回答No.1

nak_goo

n = 3　のとき、

2^3-1 ＝ 8－1 ＝ 7　なので、割り切れません。

お礼

そうでした。ｎは偶数ですね。