全ての0≦x≦πにおいて、n→∞のとき、Σ[n=1

質問

全ての0≦x≦πにおいて、n→∞のとき、Σ[n=1→∞]{(-1)^(n-1)/√n}sin(nx)が収束することを詳しく証明して頂きたいです。

回答No.1

tmppassenger

https://okwave.jp/qa/q9831306.html との絡みで示す

先ず x=πの時は、sin(nx) = 0となるので、明らかに収束する。

そうでないとき、まず sin(n(x+π)) = sin(nx) cos(nπ) + cos(nx) sin(nπ) = (-1)^n sin(nx)となる事に注目する。すると、https://okwave.jp/qa/q9831306.html において、Σ[1≦n≦m] (-1)^(n-1)) sin(nx) = -σ_m(x+π) となる。
特に、| Σ[1≦n≦m] (-1)^(n-1)) sin(nx)| ≦ 1/ | sin((x+π)/2) = 1/|cos(x/2)|となる。
従って、Dirichletの級数判定法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95#%E4%B8%BB%E5%BC%B5
において、a[n] = 1/√n, b[n] = (-1)^(n-1)) sin(nx) とすれば、適用可能となり、元の級数は収束する。