高校数学 lim(n→∞)x/n=0

質問

xが全実数のとき
lim(n→∞)x/n=0
が成立することを説明してください。

数学の問題の解説中で証明なく使われていたのですが、いまいち理解できません。

xが全実数ならば、例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がするのですがどうでしょうか。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

>xが全実数のとき
>lim(n→∞)x/n=0
>が成立することを説明してください。

こういう問題ではxはnとは独立した変数で、nに対しては定数として扱います。
したがって、

>xが全実数ならば、例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がするのですがどうでしょうか。
とｘはnと関係づけて、変化する変数（つまり従属変数）として扱うのは間違いです。
ｘは「xが全実数のとき」ですが、極限をとる変数nとは独立した変数、つまりn→∞に対して変化しない有限な実数定数として扱うべきです。
したがってn→∞に対してxは変化しない実数定数と考えるべきなので,ｘはlimの外に出せて

　lim(n→∞)x/n=x*lim(n→∞) (1/n)=x*0=0

と「実数*0」という計算をします。

「例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がする」のような場合は
「xはnに依存する実数関数(つまりx=x(n))のとき」と問題に書かれている場合です。

お礼

xの値はnを含んではいけないのですね。
ご回答ありがとうございました!
お礼が遅くなってしまってすみませんでした。

回答No.3

stomachman

lim(n→∞) x/n = 0
というのは、実数全体の集合をR、自然数全体の集合をNとするとき
　　∀ε((ε∈R ∧ ε>0) ⇒ ∃m(m∈N ∧ ∀n((n∈N ∧ n>m) ⇒ |x/n|<ε)))
という意味なんです。読み下せば「どんなεについても、もしεが実数でε>0なら、あるmがあって、mは自然数であり、どんなnについても、もしnが自然数でn>mであるなら |x/n|<ε である。」
　もうちょっと日本語らしくすれば、「どんな正の実数εについても、(εに応じて）ある自然数mがあって、n>mであるようなどんな自然数nについても |x/n|<ε である。」
　xはこの式の外でも同じ意味で使える文字（自由変数）であるのに対して、nはこの式の中でだけ意味がある文字（束縛変数）です。すなわち、"n"をたとえば"k"に書き換えたとしても、式の意味は全く変わらない。しかし、"x"を別のもの（例えばn^2に）書き換えたら、式の意味が変わってしまう。だから、x=n^2というわけにはいかない。

　で、
>　xが全実数のときlim(n→∞) x/n = 0
というのは
　　∀x(x∈R ⇒ lim(n→∞) x/n = 0)
すなわち
　　∀x(x∈R ⇒∀ε((ε∈R ∧ ε>0) ⇒ ∃m(m∈N ∧ ∀n((n∈N ∧ n>m) ⇒ |x/n|<ε))))
のことであり、読み下せば「どんなxについても、もしxが実数なら、どんなεについても、もしεが実数でε>0なら、あるmがあって、mは自然数であり、どんなnについても、もしnが自然数でn>mであるなら |x/n|<ε である。」
　もうちょっと日本語らしくすれば、「どんな実数xとどんな正の実数εについても、(x, εに応じて）ある自然数mがあって、n>mであるようなどんな自然数nについても |x/n|<ε である。」ってことです。

　証明は簡単。実数xと正の実数εに対して、m > |x|/ε となるような自然数mが必ず存在する。そのようなmを（どれでもいいから）ひとつ選べば、「n>mであるようなどんな自然数nについても |x/n|<ε」である。

回答No.2

angkor_h

この式の意味は、nを無限大に近づけた時、x/nの極限値はどうなるか?
と言うことなので、x/∞=0と言うこと、で良いと思いますが…
無限大と言う数値は無く計算も出来ないので、lim(n→∞)という表現で代用している、と理解しています。

それとも、xが実数である時、x/∞=0を証明せよ、と言うことでしょうか?

回答No.1

NoSleeves

高校数学では証明できません。
事実として、暗記してください。

>>例えばx=nとすれば1になり
この部分は、勘違いしていますよ。
もう一度、考え直してください。

補足

回答ありがとうございます。
暗記事項なんですね><

後半部分について、x=nのとき
lim(n→∞)x/n
=lim(n→∞)n/n
=lim(n→∞)1
=1
と思ったのですが違うのですか?