ｎ次元球面、S^n=｛（a^1,・・・,a^n+1）∈R^n+1｜(a

質問

ｎ次元球面、S^n=｛（a^1,・・・,a^n+1）∈R^n+1｜(a^1)^2+・・・+(a^n+1)^2=1｝が可微分多様体の構造をもつことを示せ。

という問題で、証明の中でいくつかわからないところがあります。わからない部分を≪≫で書きます。

証明）Vi^+=｛（a^1,・・・,a^n+1）∈S^n｜ai<0｝
　　　Vi^-=｛（a^1,・・・,a^n+1）∈S^n｜ai>0｝ (i=1,・・・,n+1)　とおくと
≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫←この部分は当たり前に言えてしまうのでしょうか？
≪これらのVi^+，Vi^-がR^nの開集合E^n=｛（x^1,・・・,x^n）∈R^n｜(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1｝と同相であることを示す。≫←何故、同相であることを示すのでしょうか？

写像φi：Vi^+→E^n　　φi^-1：E^n→Vi^+を実際に移していく。
この後は何とかわかるのですが最初の方の疑問をどなたかお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫
開集合であることも、ほぼ自明ですよね。
本当に証明するなら、Vi^+（あるいはVi^-）の任意の点の近傍が、Vi^+（あるいはVi^-）に含まれることを言えばいいです。
また、
V0^+ ∪ V0^- ∪ … ∪Vn+1^+ ∪ Vn+1^- ＝ S^
なんで、実際、覆ってますよね。

≪これらのVi^+，Vi^-がR^nの開集合E^n=｛（x^1,・・・,x^n）∈R^n｜(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1｝と同相であることを示す。≫
何故？って、これは多様体の定義そのものです。

多様体というのは、一言で言えば、つまり、
「局所的にユークリッド空間と（同相だと）みなせるような図形のこと」です。
とりあえず、Wikipediaのページの説明を見て、多様体とは何なのか直感的な理解をつかんでください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93