関数の最大値・最小値

質問

関数f(x)の最大値や最小値を求める際、まずf'(x)を求め
f'(x)=0となるようなxと定義域の端のx等から増減表を作りますが、
場合によってはf(x)のx→∞のときの極限等を考えなければならない
、と参考書に書いてありました。
そこで何故だろうと自分で考えてみたのですが、おそらく関数の
一番右端や左端、つまりx→∞やx→-∞のとき最大値や最小値を取る可能性があるため、それを考慮する必要があるのではないかと思いました。
しかし、この自分の考えに基づけばx→∞やx→-∞の極限を考えなければならないのに、問題によってはそれを考慮せずに終わる解答がありました。自分の考えが間違っているのか、それとも考慮しなくても解答できるのかどちらかご教授いただきたいと思います。
下の(1)がx→∞やx→-∞の極限を考慮した解答の載っていた問題で、(2)、(3)は考慮しない解答の載っていた問題です。問題はともに最大値・最小値を求めよです。
(1)y=(x-1)/(x^2+1)
最大値:(√2-1)/2 x=1+√2
最小値:(-√2-1)/2 x=1-√2
(2)y=x-√(x^2-1)
最大値:1 x=1
最小値:なし
(3)y=√(x^2+1)+√{(x-3)^2+4}
最大値:なし
最小値:3√2 x=1

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

「収束値」って言葉が少しややこしいかもしれませんね。
言葉はこのままでいいのですが、これはあくまでも「近づいていく値」であり、決してその値にはなりません。
つまり、確定していない値なので、収束値が最大値・最小値となることはありません。

もし、収束値が最大値の候補（極値の一つ）よりも大きければ、
最大値はなしとなります。
最小値についても同様です。

増減表を書いたら、グラフの概形を描いてみてください。
これが一番確実な方法かもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

やはり自分の認識は間違っていました。
収束値が最大値や最小値になると思っていました。
度々の質問にお答えいただきありがとうございました。

回答No.3

info22

(1)～(3)の最大値、最小値は各問合っています。

>x→∞やx→-∞の極限を考えなければならないのに、問題によってはそれを考慮せずに終わる解答がありました。自分の考えが間違っているのか、それとも考慮しなくても解答できるのかどちらかご教授いただきたいと思います。
(1)　x<1-√2の範囲では　f(x)<0,f'(x)<0で単調減少なのでf(x)は最小値をとらない、
x>1+√2の範囲では　f(x)>0,f'(x)<0で単調減少なので最大値をとらない。従って、x→∞やx→-∞での極限値を調べる必要性がない。

(2) xの定義域x≦-1,x≧1での有限の範囲での最大値や最小値の候補より、x→∞　や　x→-∞　の極限値の方が大きい、又は小さくなる可能性があれば、極限値を求めないと最大値、最小値の候補がそのまま最大値や最小値であることが確認できない。現にx→-∞　でf(x)→-∞であることが確認して初めて、最初値の候補が最小値でないことが判定できる。

(3) x=1でf'(x)となるので、f(x)が最大値または最小値の候補になるが、
x→∞　や　x→-∞　の極限値の方が候補より大きい、又は小さくなる可能性があれば、極限値を求めないと最大値、最小値の候補がそのまま最大値や最小値であることが確認できない。そのためx→∞　や　x→-∞　のf(x)の極限値を求めてやらないといけないことになるわけです。

>おそらく関数の一番右端や左端、つまりx→∞やx→-∞のとき最大値や最小値を取る可能性があるため、
これは、間違いで、x→∞やx→-∞のときの極限値は関数の上限値や下限値になりますが、最小値や最小値ではありません。
x→∞やx→-∞における上限値や下限値はｘの有限範囲での最大値や最小値の値域の範囲の外にある(2)や(3)のようなケースでは、最大値または最小値が存在しなくなる可能性があるために、x→∞やx→-∞のときの極限値を調べないといけないということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

自身の間違いの点は理解しました。
しかし、(1)は極限を考慮せず(2)や(3)は考慮するとの
ご回答ですが、問題の解答ではその逆でした。
つまり(1)で極限を考慮し、(2)や(3)では考慮していないようでした。

回答No.1

naniwacchi

まず、極値が最大値・最小値とは限らないことはいいでしょう。

増減表を書いたとき、
x→±∞で単調増加や単調減少かつ f(x)も f(x)→±∞
ということが明らかであれば、
わざわざ「評価」する必要もないと思います。

簡単な例として、次の問題を考えてみてください。
f(x)= x*e^(-x) (x≧0)の最大値・最小値

この場合、x＞1では単調減少しますが、f(x)＞0で f(x)→0となります。
極限値が±∞とならないような場合には、
その収束値によって最大値・最小値が存在するかしないかが変わってしまいます。

(1)の問題は、まさしくこのケースであり、
収束値を考慮しなさいということになります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

>極限値が±∞とならないような場合には、
その収束値によって最大値・最小値が存在するかしないかが変わってしまいます。

この点について、例えば収束値が出てそれが最大値や最小値だった場合、
その収束値は最大値や最小値の答えとして書いていいのですか？
極限が±∞に発散したときや、ある値に収束したときの
最大値や最小値との折り合いが自分の認識と間違っている
可能性があるので、ご教授下さい。
度々の質問申し訳有りません。