定義域が制限された関数で係数に文字を含ry(数学I

質問

定義数が制限された関数において、係数に文字を含むときの最大,最小の問題です。
場合分けをするときの分け方がさっぱり解りません。
二乗するときは^2で、＜の下に＝があるやつは《で(何故か出てこない,,,)表します
関数y=x^2-2ax(0≪x≪2)の最大値を求めよ。という問題だったらまず平方完成して
(x-a)^2-a^2としてから場合分け。
(i)a<1のとき(ii)a=1のとき(iii)a>1のとき
これは何とか理解できた(つもり)なんですが、次の問題で同じ式の同じ定義域で最小値とそのときのxの値を求めよ。という問題で場合分けを前の問題と同じ感じで解いたら間違ってて
(i)軸が定義域の左側にある。すなわちa<0(ii)軸が定義域に含まれる。すなわち0≪a≪2
(iii)軸が定義域の右側にある。すなわちa>2
どういうことでしょうか,,,最大値を求めるのか最小値を求めるのかで変わるんだろうなとは思いましたが、理屈が解りません
最大値を求める問題では、定義域の真ん中のラインから軸が左か、ライン上か、右かで場合分けですよね？多分
何故最大値を求める問題では定義域より左が軸か、軸が定義域に含まれるか、定義域より右が軸か、で場合分けするのでしょうか,,,(^-^;
馬鹿な私に優しい方誰か教えてください

回答No.1

h_m_kiohsi · ベストアンサー

y=x^2形の放物線は範囲が実数全体の時、軸で最小値をとり、放物線は軸を境に左側は単調減少、右側は単調増加です。
よって軸から離れれば離れるほど値は大きくなり、軸に近づけば近づくほど値は小さくなります。

よって最大値を取るxは範囲の右端か左端かなので、それぞれどんな時になるかを考え、場合分けは2通り(a=1は左端も右端も最大値を取る、特殊な場合)。
最小値を取るxは、範囲内に軸があれば軸の値、範囲内に軸がなければ範囲の右端か左端かなので、それぞれどんな時になるかを考え、場合分けは3通りになります。

この2つの違いは極小値はあっても極大値はないことです。極大値がないので、最大値は左端か右端かを考えるだけでいい(軸が範囲内にあるかどうかを考えないでいい)、となります。
逆にy=-x^2形のような放物線は極大値があって極小値はないので、最小値が左端か右端かを考えるだけでいい、となります。

お礼

わざわざこんな長い説明ありがとうございました!!!!!!
本当にお手数かけました...ありがとうございます
とても解りやすかったです,,,
数学の先生ここの部分かっ飛ばして進めてたのでついていけていませんでした
本当にありがとうございました