二次関数

質問

関数f(x)=x^2-2ax+2a^2-1がある。ただし、0≦x≦1とする。
(1)f(x)の最小値mをaを用いて表せ。
(2)m=1のとき、aの値を求めよ。
解き方も教えてください。

場合わけを考える際にどうして
(i)1<aのとき
(ii)0≦a≦1のとき
(iii)a<0のとき
というふうに考えるんでしょうか。
そしてこれらの場合わけからどうに答えを出すのか知りたいです。
お願いします。

回答No.2

masatoshio · ベストアンサー

f(x)は、f(x)=(x-a)^2+a^2-1 と変形できます。
y=f(x)のグラフを考えてみると、y軸切片がa^2-1であり、またx=aの値で極小となるような、下向きに凸の二次曲線のグラフとなります。とすると、その「0≦x≦1でのyの最小値」というのは、下向きに凸の極小値(底の部分)の部分が、0と1の間にあるかどうか、で、様子がちがってくることが解ると思います。

もし、その「底」の部分がx軸の1より大きいところ(右側)にあれば、0≦x≦1でのそのグラフで一番小さい部分は、x=1のところ、「底」が0≦x≦1の間にあれば、その「底」の部分がyが一番小さい部分となり、また「底」がx=0より左にあれば、一番小さい部分はx=0のところになるとわかると思います。

以上のように、「底」の場所が3パターンあり、そのパターンそれぞれで、最小となる場所が変わってきます。その「底」の部分のx軸における場所は、aの値で表されていますから、上記のように3パターン分けるとすると、質問のような(i)(ii)(iii)の分け方になるわけです。

そこで問題(1)ですが、以上のような考えに基づいて
(i)1＜aのとき　最小値はx=1のときのf(x)の値ですから、f(x)のxに1を代入して得られた 2a^2-2a
(ii)0≦a≦1のとき　最小値は極小値(「底」の部分)となりますから、その「底」の部分のxの値、すなわちaをf(x)のxに代入して得られた a^2-1
(iii)a＜0のとき　最小値はx=0のときのf(x)の値ですから、f(x)のxに0を代入して得られた 2a^2-1

がmの値となります。

次に問題(2)ですが、それぞれのパターンで、mに1を代入してみると
(i) 1=2a^2-2a 　となるので、計算すると a=(2±3√2)/4　となりますが、(i)の条件より、そのうちa=(2+3√2)/4　のみが採用
(ii) 1=a^2-1　となるので、計算すると a=±√2 となりますが、(ii)の条件が0≦a≦1なので、これには当てはまらないため、採用できる解なし
(iii) 1=2a^2-1　となるので、計算するとa=±1となりますが、(iii)の条件により、a=-1 のみが採用

従って、m=1のときのaの値は、(2+3√2)/4 or -1

・・で、合ってるかなあ・・・・・。

回答No.3

mister_moonlight

f(x)＝(x-a)^2+a^2-1 であり、0≦x≦1であるから、軸（＝a）の位置により最小値も変化する。

xy平面上で、先ず　0≦x≦1　に斜線を引いてみる。xのとり得る値の範囲は0≦x≦1に固定されているから、軸であるaがどこにあるかで最小値も異なる位は分るだろう。

そうして、この関数は下に凸の2次関数であるから、軸を色々動かして、グラフを書いてみると
(1)　a≧1の時、軸はx≧1にあるから、x＝1で最小となり、m＝f(1)＝2a^2-2a
(2)　a≦0の時、軸はx≦0にあるから、x＝0で最小となり、m＝f(0)＝2a^2-1
(3)　0≦a≦1の時、軸は0≦x≦1にあるから、x＝aで最小となり、m＝f(a)＝a^2-1

＞(2)m=1のとき、aの値を求めよ。

(1)～(3)までで、m＝1として、aの値を出してみると良い。
但し、aについては、各々条件がある事を忘れずに。
答は、a＝-1、or、（1＋√3）/2　。

計算に自信なし、チェックしてね。

回答No.1

noname#160321

>f(x)=x^2-2ax+2a^2-1
ｆ(ｘ)=x^2-2ax+a^2+a^2-1
=(x-a)^2+(a^2-1)
なので、
極小値はf(a)になるため、
>0≦x≦1
に従ってaを分けるんです。