二次関数

質問

二次関数f(x)=-2x^2+8x-a^2+3がある。ただしaは定数とする。
(1)　f(x)の最大値が2のとき、aの値を求めよ。
(2)　a＞0とする。a≦x≦a+2におけるf(x)の最大値が5のとき、aの値を求めよ。
(3)　a＞0（ただし、a≠1）とする。a≦x≦a+2において、f(x)の最大値をM、f(x)の最小値をmとする。また、f(x)がMをとるときのxの値をp、ｍをとるときのｘの値ｑとする。このとき、Ｍ+m=4（ｐ-ｑ）^2を満たすａの値を求めよ。

回答、よろしくお願いします。

回答No.2

suko22

＃１です。訂正です。

＞(2)aの値によって最大値が異なるので場合わけします。　
　i　0＜a≦2のとき
　　　ｘ＝2のとき最大値-a^2+11となる。
　　　問題文より最大値が5と与えられているので、-a^2+11=5
これを解くと、a=±√6
　　　0＜a≦2の範囲で考えているから、a＝√6　←ココ2＜√6＜3なので、√6は不適になります。

　ii　a＞2のとき
　　　ｘ＝aのとき最大値f(a)=-2a^2+8a-a^2+3=-3a^2+8a+3となる。
　　　問題文より最大値が5と与えられているので、-3a^2+8a+3=5
これを解くと、a=（4±√10）/3
　　　a＞2なので、a=（4+√10）/3

i、iiより　a=√6,（4+√10）/3　←ココ、√6は除外してください。

回答No.1

suko22

f(x)=-2(x-2)^2-a^2+11
y=f(x)は上に凸で、頂点(2,-a^2+11)、軸の方程式ｘ＝2の放物線である。

(1)y=f(x)は上に凸のグラフなので、頂点のｙ座標が最大値を与える。
　よって、ｘ＝2のとき最大値-a^2+11
　問題文より最大値は2と与えられているので、-a^2+11＝2
　これを解くと、a＝±3

(2)aの値によって最大値が異なるので場合わけします。　
　i　0＜a≦2のとき
　　　ｘ＝2のとき最大値-a^2+11となる。
　　　問題文より最大値が5と与えられているので、-a^2+11=5
これを解くと、a=±√6
　　　0＜a≦2の範囲で考えているから、a＝√6

　ii　a＞2のとき
　　　ｘ＝aのとき最大値f(a)=-2a^2+8a-a^2+3=-3a^2+8a+3となる。
　　　問題文より最大値が5と与えられているので、-3a^2+8a+3=5
これを解くと、a=（4±√10）/3
　　　a＞2なので、a=（4+√10）/3

iiiより　a=√6,（4+√10）/3

(3)aの値によって最大値、および最小値が変わるので場合わけします。
　i　0＜a＜1のとき
　　　ｘ＝2のとき最大値-a^2+11
ｘ＝aのとき最小値f(a)=-3a^2+8a+3

　ii　1＜a≦2のとき
　　　ｘ＝2のとき最大値-a^2+11
ｘ＝a+2のとき最小値f(a+2)=-3a^2+11

iii　a＞2のとき
　　　ｘ＝aのとき最大値f(a)=-3a^2+8a+3
ｘ＝a+2のとき最小値f(a+1)=-3a^2+11

それぞれの場合についてＭ+m=4（ｐ-ｑ）^2に代入してaの値を求める。
　iのとき-a^2+11-3a^2+8a+3=4(2-a)^2
これを解くと、a=（3±√5）/4
　　0＜a＜1より、a=（3-√5）/4

iiのとき-a^2+11-3a^2+11=4(2-a-2)^2
　これを解くとa=±√11/2
　　1＜a≦2より、a=√11/2

iiiのとき-3a^2+8a+3-3a^2+11=4(a-a-2)^2
　これを解くと、a=1,1/3
a＞2より、不適

よって、a=（3-√5）/4,√11/2

軸の方程式がｘ＝2で固定されているので、定義域のaの値で場合わけが必要なことが簡単な図を書けばわかると思います。