有効関数、予算制約式について教えて欲しいです😭

質問

以下の問題を教えて頂きたいです。効用関数が U = −3c^2 + 90c + 3m、予算制約式が m = 20 − 3P c の時、次の問いに答えなさい。 (1) 予算制約式を効用関数に代入し、効用を最大にする消費量を計算しなさい。
(2) (1) の時の需要関数及び逆需要関数を求めよ。
(3) P = 4 の時、需要曲線及び消費者余剰を 1 つのグラフを書く。
(4) (3) の時の消費者余剰を計算しなさい。

回答No.1

five_163

このくらいのことなら、ChatGPTが教えてくれますよ。

問題を解くために、まずは以下の手順に従って効用関数と予算制約式を結合します。

(1) 予算制約式を効用関数に代入し、効用を最大にする消費量を計算します。
(2) 効用が最大の時の需要関数及び逆需要関数を求めます。

まずは、(1) 予算制約式を効用関数に代入して効用を最大にする消費量を求めましょう。

効用関数: U = -3c^2 + 90c + 3m
予算制約式: m = 20 - 3Pc

予算制約式を効用関数に代入します。
U = -3c^2 + 90c + 3(20 - 3Pc)
U = -3c^2 + 90c + 60 - 9Pc

次に、効用関数を最大にするために、c（消費量）に関する1次の式に変換します。これを行うために、cに関する2次の項を消す必要があります。そのためには、効用関数をcで微分し、その結果が0となるようなcの値を求めます。

Uをcで微分して、0と等しいとおきます。
dU/dc = -6c + 90 - 9Pc = 0

この式をcについて解いてcの値を求めます。
-6c + 90 - 9Pc = 0
-6c - 9Pc = -90
c(-6 - 9P) = -90
c = -90 / (-6 - 9P)
c = 90 / (6 + 9P)
c = 30 / (2 + 3P)

以上の結果から、c（消費量）を効用関数を最大にするための関数として表現できました。

(2) 効用が最大の時の需要関数及び逆需要関数を求めます。

需要関数は、価格によって消費量がどのように変化するかを示す関数です。効用関数から需要関数を求めるためには、cを価格Pの関数として表現します。

c = 30 / (2 + 3P)

次に、逆需要関数は価格に対する需要量を示す関数であり、需要関数を反転させたものです。逆需要関数を求めるためには、需要関数のcとPを入れ替えます。

P = 30 / (2 + 3c)

以上の手順により、効用が最大の時の需要関数と逆需要関数が求められました。

消費者余剰を計算するためには、以下の手順に従って消費者余剰を求めます。

消費者余剰 = 総効用 - 支払った価格 × 消費量

まずは、価格Pを4として、効用関数から消費量を求めます。

c = 30 / (2 + 3P)
c = 30 / (2 + 3(4))
c = 30 / (2 + 12)
c = 30 / 14
c ≈ 2.142857

次に、消費者余剰を計算します。

総効用は、効用関数に消費量を代入して求めます。
U = -3c^2 + 90c + 3m
U = -3(2.142857)^2 + 90(2.142857) + 3(20 - 3Pc)
U ≈ -3(2.142857)^2 + 90(2.142857) + 3(20 - 3(4)(2.142857))
U ≈ -3(4.591837) + 192.85714 + 3(20 - 25.71428)
U ≈ -13.77551 + 192.85714 + 1.142857
U ≈ 180.2245

支払った価格はP=4の場合で4です。

消費者余剰 = 総効用 - 支払った価格 × 消費量
消費者余剰 ≈ 180.2245 - 4 × 2.142857
消費者余剰 ≈ 180.2245 - 8.571428
消費者余剰 ≈ 171.653072

したがって、消費者余剰は約171.65です。