極限

質問

数学塾でもらったものなのですが、この問題が分かりません。
どなたか丁寧な解説をしてくださると幸いです

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

添え字を次のように書くことにします。
a(1), a(2), ……

a(1), a(2), a(3), ……
の項の間の差(階差)からなる数列(階差数列)
b(1), b(2), b(3), ……
が等差数列だという条件が与えられています。
そして
b(1)=7, b(2)=9
と合わせて考えると
初項が7，公差が2の等差数列だということになります。
従って階差数列｛b(n)｝の一般項は
b(n)=7+(n-1)*2=2n+5　……(ア，イの答)

ご存知のとおり
a(n)=a(1)+｛b(1)+b(2)+……+b(n-1)｝　教科書ではΣを使っていますね
で求められますから（この理由は後述※）
a(n)=5+(n-1)(2*7+(n-2)*2)/2
=5+(n-1)(n+5)
=n^2+4n　……(ウ，エ，オ)

極限の問題は『分子の有利化』で解決できます。
lim(n→∞)(√a(n)-n)
=lim(n→∞)(√(n^2+4n)-n))
=lim(n→∞)(√(n^2+4n)-n))(√(n^2+4n)+n))/(√(n^2+4n)+n)
=lim(n→∞)((n^2+4n)-n^2))/(√(n^2+4n)+n)
=lim(n→∞)(4n)/(√(n^2+4n)+n) 　(分子と分母をnでわります)
=lim(n→∞)(4/(√(1+4/n)+1)
=4/2
=2　……(カ)

lim(n→∞)(√(a(n)/n)-√n)
=lim(n→∞)(√(n+4)-√n)
=lim(n→∞)((n+4)-n)/(√(n+4)+√n)
=lim(n→∞)(4/(√(n+4)+√n)　　（ここで分子と分母を√nで割る）
=lim(n→∞)((4/√n)/(√(1+4/n)+1)
=0/1
=0　……(ｷ)

※教科書にもきちんと説明ありますね。
a(2)-a(1)=b(1)
a(3)-a(2)=b(2)
a(4)-a(3)=b(3)
………………
a(n-1)-a(n-2)=b(n-2)　　(番号は引く方の項の番号と同じ）
a(n)-a(n-1)=b(n-1)　　（＋　辺々加えます）
――――――――――
a(n)-a(1)=b(1)+b(2)+……+b(n-1)
∴a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+……+b(n-1))

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

b(1) = a(2) - a(1) = 7
b(2) = a(3) - a(2) = 9
{b(n)} は等差数列なので、その初項は7、公差は2とわかり
b(n) = 7 + 2(n-1) = 2n + 5 …アイ

n≧2のとき
a(n) = a(1) + Σ(k=1→n-1) b(k)
= 5 + Σ(k=1→n-1) (2k+5)
= 5 + 2 * Σ(k=1→n-1) k + Σ(k=1→n-1) 5
= 5 + 2 * (1/2) n (n-1) + 5(n-1)
= 5 + n (n-1) + 5n - 5
= n^2 + 4n （この式はn=1でも正しい）
空欄に合わせて 1n^2 + 4n + 0 …ウエオ

√a(n) - n
= { √a(n) - n} / 1
= [ { √a(n) - n } {√a(n) + n } ] / { √a(n) + n }
（よく「分子の有理化」と呼ばれる作業）
= { a(n) - n^2 } / { √a(n) + n }
= (4n) / { √(n^2 + 4n) + n }
（分子、分母をnで割って）
= 4 / [ √{ 1 + (4/n) } + 1 ]
n→∞ のとき 4/n → 0 なので、求める極限値は
4 / { √(1 + 0) + 1 } = 2 …カ

√{a(n) / n} - √n
= { √{a(n) / n} - √n} / 1
= [ ( √{a(n)/n} - √n ) (√{a(n)/n} + √n ) ] / [√{a(n)/n} + √n ]
= [ {a(n) / n} - n ] / [ √{a(n) / n} + √n ]
= { (n+4) - n } / { √(n+4) + √n }
= 4 / { √(n+4) + √n }
n → ∞ のとき 分母→∞ なので、
求める極限値は 0 …キ