数3 関数と極限

質問

数3の極限でわからない問題があるので解答解説をお願いします。

回答No.3

info222_

設問11について
左下添字に[ ]を付けて
　bn → b[n], PnQn → P[n]Q[n]　
などと書く事にします。

AB=AP[1]=a=b[1], P[1]Q[1]=P[1]P[2]=b[2], P[2]Q[2]=P[2]P[3]=b[2], … , P[n]Q[n]=P[n]P[n+1]=b[n], …
弧P[1]B=c[1], 弧P[2]Q[1]=c[2], … , 弧P[n]Q[n-1]=c[n], …
とおくと
∠A=π/4 [ラジアン]なので
b[1]=a, c[1]=aπ/4,
c[2]=b[2]π/4, c[n]=b[n]π/4,
a-b[2]=a/√2 より b[2] = (2-√(2))a/2
△CAB∽△CP[1]Q[1]∽△CP[2]Q[2]∽ … ∽△CP[n]Q[n]∽ …,
扇形AP[1]B∽扇形P[1]P[2]Q[1]∽扇形P[2]P[3]Q[2]∽ … ∽扇形P[n]P[n+1]Q[n]∽ …
より
r=b[2]/b[1]=c[2]/c[1]= … =b[n+1]/b[n]=c[n+1]/c[n]= …
0<r<1
r=b[2]/b[1]= (2-√(2))a/(2a)= (2-√(2))/2

弧の総和S=Σ[n=1,∞] c[n] =Σ[n=1,∞] c[1] r^(n-1)
　=c[1] Σ[n=1,∞] r^(n-1)
　=(aπ/4)*1/(1-r)
　=(aπ/4)/(1-(2-√(2))/2)
　=(aπ/2)/(2-(2-√(2)))
　=aπ√(2)/4 …(答)

回答No.2

info222_

設問１０について
(1)
S=(1/2+1/3)+(1/2)(1/2+1/3)+(1/2^2)(1/2+1/3)+(1/2^3)(1/2+1/3)+ …
　=(1/2+1/3){1+1/2+1/2^2+1/2^3+ … }
　=(5/6)*1/(1-(1/2))
　=5/3

(2)
S=Σ[n=1, ∞] 2/{√(n+2)+√(n) }　←　分母の有理化
　=Σ[n=1, ∞] 2*{√(n+2)-√(n) }/{(n+2)-n }
　=lim[N→∞]Σ[n=1, N] {√(n+2)-√(n) }
　= lim[N→∞] {√(3)-√(1) } + { √(4)-√(2) } + { √(5)-√(3) } + … + { √(N+1)-√(N-1) } + { √(N+2)-√(N) }
プラス、マイナス相殺しあって、順に消えて行くから
=lim[N→∞] √(N+2)+√(N+1) -√(2)-1=∞　(発散)

(3)
S=Σ[n=1, ∞] (n^2-1)/(n(n+3))
　=(1/9)Σ[n=1,∞] (n-3)/n +(9/8)Σ[n=1,∞] n/(n+3)
　=(1/9){-2-(1/2)+Σ[n=4,∞] (n-3)/n } +(9/8)Σ[n=1,∞] n/(n+3)
　=-(5/18)+(1/9)Σ[n=4,∞] (n-3)/n +(9/8)Σ[n=1,∞] n/(n+3)
　=-(5/18)+∞+∞=∞（発散）

回答No.1

teppou

弧の長さは、rθ

　最初の r = a

　次の　 r = a - a(cosθ) = a(1-cosθ)

　その次の r = a(1-cosθ)-a(1-cosθ)cosθ= a(1-cosθ)^2

　順次このようになるから、

　等比級数の和になり、

　公式を当てはめれば解ける。

　すごく面倒だけど。

　健闘を祈る。