極限の問題です。

質問

[]をガウス記号として
[（10^n）π]/(10^n)で、nを無限大に飛ばしたものを考えるときに
10^n π　＜　[（10^n）π]　＜(10^n )π + 1
からはさみうちを考えるのは数学的になにか問題があるのでしょうか
解答解説にはもう少し遠まわしなのが書いてあります。
よしくおねがいします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>10^n π　＜　[（10^n）π]　＜(10^n )π + 1
>からはさみうちを考えるのは数学的になにか問題があるのでしょうか
>解答解説にはもう少し遠まわしなのが書いてあります。
問題あり。この不等式は成り立ちません。
例えばn=1,2, ... としてみれば明らかです。
n=1のとき
31.4...<31<32.4...
　不成立。
n=2のとき
314.159...<314<315.159...
　不成立。
挟みうちに使う不等式は
(10^n)π-1<[(10^n)π]<(10^n)π
つまり(10^n)で各辺を割った
π-(1/10^n)<[(10^n)π]/10^n<π
したがってn→∞の極限をとると
lim(n→∞)π-(1/10^n)=π
なので極限では等号が入って
π≦lim(n→∞)[(10^n)π]/10^n≦π
つまり
lim(n→∞)[(10^n)π]/10^n=π
となります。

直感的にも
n=1,2,3,4,5,6,と増やしていくと,順にそれぞれ
[(10^n)π]/10^n=3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, ...
と小数以下の桁が一桁ずつ増加していくので、n→∞では
π=3.14159265358979 ... となると考えられます。

おわかり？

お礼

ありがとうございました