極限と連続性

質問

図の問題の解説お願いします。

回答No.1

muturajcp

lim_{x→a+0}f(x)=f_a
lim_{x→b-0}f(x)=f_b
a<t<c<u<b
とする
f_a-f(t)>0を仮定すると
∃ε(0<ε<{f_a-f(t)}/2)
→∃δ>0
∀x,0<x-a<δ→|f(x)-f_a|<ε<{f_a-f(t)}/2
a<x<min(a+δ,t)
{f_a+f(t)}/2=f_a-{f_a-f(t)}/2<f_a-ε<f(x)<f(t)
f_a<f(t)<f_aとなって矛盾するから
f_a≦f(t)<f(c)

f(u)-f_b>0を仮定すると
∃ε(0<ε<{f(u)-f_b}/2)
→∃δ>0
∀x,0<b-x<δ→|f(x)-f_b|<ε<{f(u)-f_b}/2
max(b-δ,u)<x<b
f(u)<f(x)<f_b+ε<f_b+{f(u)-f_b}/2={f(u)+f_b}/2
f_b<f(u)<f_bとなって矛盾するから
f(c)<f(u)≦f_b
∴
lim_{x→a+0}f(x)<f(c)<lim_{x→b-0}f(x)