- ベストアンサー
級数の極限
問．次を示せ 1/(a+1)+1/(a+2)+1/(a+3)+…=∞ 当方は数学を先行している教員養成系教育学部2年です。 この問題がわかりません。 どなたか教えて頂けたら幸いです。
- imapshinba
- お礼率83% (5/6)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数3
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞ a=0の場合は、区分求積法でも、 ＞ 1/(2^m-1)+1/(2^m-2)+…+2^(m+1)>(2^(m+1)-2^m)=1/2 ＞ を利用した方法でも解けるのですが、a<>0となると迷宮入りです。 a ＝ 0 のとき解ける、即ち 1/1 + 1/2 + 1/3 + ..... は OK だと。 ならば 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞ は？ さらに、任意の自然数 n に対して 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... = ∞ は ? たとえば a = 1.1 だったなら S = 1/(1.1+1) + 1/(1.1+2) + 1/(1.1+3) + ..... こいつと T = 1/3 + 1/4 + 1/5 + .... とを比べて Ｔ＜Ｓ、Ｔ＝∞ を示せばよいでしょう。 と言う感じで、a ＞ 0 のとき、n-1 ≦ a + 1 ＜ n という自然数 n を利用すればよいと思う。
その他の回答 (3)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>1/(2^m-1)+1/(2^m-2)+…+2^(m+1)>(2^(m+1)-2^m)=1/2 >を利用した方法でも解けるのですが、a<>0となると迷宮入りです。 例えば a = 2 とすると 1/3 + 1/4 + 1/5 + … 同じ問題やんけ。 コトの本質が捉えられないと人に教えることは難しいぞ。
お礼
回答ありがとうございます。 >>コトの本質が捉えられないと人に教えることは難しいぞ。 コトの本質を捉える事が出来るよう、「これから」勉強していくつもりなので、ご指導ご鞭撻のほどよろしくお願いしますね。
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
>出来る限り微分積分を使わずに解きたい a=0の場合が調和級数です。この級数は、昔からいろいろな人がいろいろな方法で証明しました。「調和級数」をキーワードにしてご自分で検索してみて下さい。一般のaの場合はa<Nとなる自然数Nをとって考えればよいでしょう。
お礼
分かりやすく説明していただいてありがとうございます。 「調和級数」は高校の頃に少しだけ耳にした覚えがあります。 一回自分で調べてみます。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
＞この問題がわかりません。 丸投げで削除対称だろうなあ・・・ さてさて・・・aは当然，「負の整数」以外の実数でしょうが， a=0の場合は証明できるでしょう？ その場合は基本的な積分の問題に帰着します． 一般のaの場合はそれがヒント．
補足
>>丸投げで削除対称だろうなあ・・・ ごめんなさい。 もう少し詳しく状況を書くべきでしたね； a>=0での問題です。 a=0の場合は、区分求積法でも、 1/(2^m-1)+1/(2^m-2)+…+2^(m+1)>(2^(m+1)-2^m)=1/2 を利用した方法でも解けるのですが、a<>0となると迷宮入りです。 出来る限り微分積分を使わずに後者のような方法で解きたいのですが、何かヒントを頂けないでしょうか？
お礼
理解できました！ ありがとうございます。 段階的に解説してあって、すごくわかりやすかったです。 自分も見習うべきだと思いました。