極限。

質問

lim(x→-1)x^2+ax+b/x+1=-6
を満たす実数a,bを求めよ。

という問題が分かりません。
どなたか教えていただけたら幸いです！

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

limの中の式が
分子 x^2+ax+b
分母 x+1
であるような分数式、と解釈します。

f(x) = (x^2+ax+b) / (x+1)
とおく。
x=-1 のときは（分母）= 0 となり f(x) の値は存在しないが、極限値が存在することより f(x) の分子と分母は (x+1) で約分可能である。

g(x) = x^2+ax+b とおくと、g(x) は (x+1) を因数にもつので、因数定理より
g(-1) = 0
が成立。よって
1 - a + b = 0
より
b = a - 1
となる。このとき
g(x) = x^2 + ax + a - 1 = (x + 1) (x + a - 1)
となり、与えられた極限の式は
lim(x→-1) (x + a - 1) = -6
と変形される。よって
-1 + a - 1 = -6
a = -4 …答
とわかり、
b = a - 1 = -5 … 答
とわかる。

回答No.2

asuncion

lim(x→-1)(x+1) = 0だから0/0の形を作りたい。
lim(x→-1)(x^2+ax+b)=0より1-a+b=0
b=a-1
x^2+ax+b=x^2+ax+a-1
これがx+1で割り切れてほしい
x^2+ax+a-1=(x+1)(x+a-1)より
lim(x→-1)(x+a-1)=-6, -1+a-1=-6, a=-4, b=-5
このとき
lim(x→-1)(x^2-4x-5)/(x+1) = lim(x→-1)((x+1)(x-5))/(x+1) = -6より条件をみたす
∴(a, b) = (-4, -5)