極限の問題（大学受験生です。）

質問

勉強していてわからない問題があったので、教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

lim[x→∞]{√(x^2+2x+2) -(ax+b)}=0のときa,bを求めなさい。

わかりやすく解説していただけると嬉しいです。

回答No.2

ONEONE · ベストアンサー

lim[x→∞]{√(x^2 + 2x + 2) - (ax + b)} = 0
lim[x→∞]x〔√{(1 + (2/x) + (2/x^2)} - {a + (b/x)}〕 = 0（xでくくった）
このとき、
lim[x→∞]〔√{(1+(2/x)+(2/x^2)} - {a+(b/x)}〕= 0
つまり
a = 1が必要で逆にa = 1のとき

lim[x→∞]{√(x^2 + 2x + 2) - (x + b)}

= lim[x→∞]{(x^2 + 2x + 2) - (x + b)^2}/{√(x^2 + 2x + 2) + (x + b)}

=lim[x→∞]{( 2 + 2/x) - ( 2b +b^2/x)}/{√(1 + 2/x + 2/x^2) + (1 + b/x)}

=1 - b
これが0になるのはb = 1でこれで十分である。

ゆえにa = b = 1

お礼

どうもありがとうございました！（受験まであと少しで時間がないためお礼が短くなってしまうことをお許しください）

回答No.1

mirage70

(1)先ずルートをはずすことを考えます。
(2)分数の形にして、定数/∞になればよい。
即ち、定数/{√(xの二次式)+xの一次式(係数は正)}の形にする。
よって、{√(x^2+2x+2)+(ax+b)}/{√(x^2+2x+2)+(ax+b)}をかけてください。
分子のx^2の係数を０にします。a=+-1となりますが、
分母は、上より３行目の形にするために、a=1となります(a=-1のときには、∞+∞=∞となります)。次いで、xの係数を同様に０になるようにすれば、bも求まります。

お礼

どうもありがとうございました！（受験まであと少しで時間がないためお礼が短くなってしまうことをお許しください）