指数・対数関数の極限

質問

a>1のときlim[x→-∞]a^x=0
0<a<1のときlim[x→∞]a^x=0
a>1のときlim[x→∞]log_ax=∞、lim[x→+0]log_ax=∞
教科書をみても分かりません。
それぞれどういうことか説明してください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞　a>1のときlim[x→-∞]a^x=0

ｙ＝－ｘ　と置きます。
すると、
lim[x→-∞]ａ^x　＝　lim[ｙ→＋∞]ａ^(-y)
　＝　lim[ｙ→＋∞]１／ａ^y

たとえば、ａ＞１　の一例として　ａ＝２　だとして、
１／２^y
は、ｙ→＋∞　のとき、分母がどんどん大きくなっていくので、
ゼロに近づくような気がしませんか？

＞＞＞　0<a<1のときlim[x→∞]a^x=0

これは、0<a<1　の一例として、ａ＝１／２　だとして、
（１／２）^x　つまり　１／２^x　は、
ｘ→∞　のとき、分母がどんどん大きくなっていくので
ゼロに近づくような気がしませんか？

＞＞＞　a>1のときlim[x→∞]log_ax=∞

ａ＞１　の代表例として、ａ＝２　を挙げます。
log_2　ｘ　＝　？
-------------------
log_2　１　＝　０
log_2　２　＝　１
log_2　４　＝　２
log_2　８　＝　３
log_2　１６　＝　４
log_2　３２　＝　５
・・・
このように、ｘがどこまでも増えていくと、
logも　０，１，２，３，４，５、・・・と、どこまでも増えていくような感じがしませんか？

＞＞＞　a>1のときlim[x→+0]log_ax=∞

これは、私にはわかりません。
（問題がおかしいような気もします。）

以上、ご参考に。

お礼

ありがとうございました(涙)。
すっきりしました。