関数の極限

質問

lim[x→∞]{√(x^2+x+1)-ax-b}=0
が成り立つためのa,bに関する条件を求めよ。

自分なりに考えたのが、
分子分母に
√(x^2+x+1)+ax+b
を掛けて
lim[x→∞]{(x^2+x+1)-(ax+b)^2}/{√(x^2+x+1)+ax+b}=0
となり、分子をなんかしらの定数に収束するば、
0に収束するのではないのかなと考えました。
計算していくと分子が
(1-a^2)x^2+(1-2ab)x+1-b^2
となったので
1-a^2=0
1-2ab=0
で計算して
a=1 b=1/2
a=-1 b=-1/2
とでたのですが
はたしてやり方があっているのかどうか自信がありません。

どなたか教えてください。

回答No.5

Ae610 · ベストアンサー

問題の出発点がlim[x→∞]{√(x^2+x+1)-ax-b}=0
なのだから、分子分母に√(x^2+x+1)+ax+bを掛けて複雑にしなくても良いのでは・・・？

例えばf(x)=√(x^2+x+1)-ax-bと置いて、lim[x→∞]f(x)→0ならば、lim[x→∞]f(x)/x→0となることから、
lim[x→∞]√(1+(1/x)+(1/x^2))-a-(b/x)→0
これから、a=1のみが出てきて、それを出発点の式に代入して極限値を求めればb=1/2が出てきます。

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど
>lim[x→∞]f(x)→0ならば、lim[x→∞]f(x)/x→0
参考になりました。

回答No.4

arrysthmia

その考え方は、たぶん雑すぎます。
{(x^2+x+1)-(ax+b)^2} / {√(x^2+x+1)+ax+b}
の分子が∞発散したとしても、その速さが分母の∞発散より遅ければ、
分数式が0収束することもあり得ます。
lim[x→∞] { x } / { x^2 } と見比べてみましょう。
また、分子が有限値に収束したとしても、分母が∞発散でなければ、
分数式は0収束するとは限りません。
lim[x→∞] { 1 + 1/x } / { 2 + 1/x } と見比べてみましょう。
つまり、貴方の解法には、必要性も十分性もありません。

お礼

回答ありがとうございます。

たしかに∞/∞
でも0になる可能性があるんですね。

いったいどうすればよいのでしょうか？

回答No.3

R_Earl

ANo.1です。
タイプミスしました。すみません。

（誤）a = 1, b = 1/2ではこの「分母 → ∞」の条件を満たせないので不適です。

（正）a = -1, b = -1/2ではこの「分母 → ∞」の条件を満たせないので不適です。

ちなみに、√(x^2+x+1)は常に正の数なので、-axが正の値になってしまうと√(x^2+x+1)を打ち消すものがなくなり、
lim[x→∞]{√(x^2+x+1)-ax-b}=0とならないということに気付けば、0 < aという条件が存在することにも気付きます。

また「分子分母に√(x^2+x+1)+ax+bを掛ける」という操作をして極限値を出すのは0 < aの時だけなので、
そこからも0 < aという条件が出てきます。

回答No.2

info22

やり方はあっていますが、出したのは必要条件です。
出て来た(a,b)の組を最初の極限の式に代入して満たしていることを確認することで十分条件になります。
a=1 b=1/2の時0に収束し解となりますが
a=-1 b=-1/2は0に収束しませんので解となりません。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

R_Earl

> a=-1 b=-1/2

実際にこれを元の式に代入すると

lim[x→∞]{√(x^2 + x + 1) + x + 1/2}
= ∞

となってしまいます。

分子が何らかの値に収束しても、分母 → ∞とならなければ、元の式は0に収束しません。
a = 1, b = 1/2ではこの「分母 → ∞」の条件を満たせないので不適です。

a = 1, b = 1/2はあっていると思います。

お礼

回答ありがとうございます。