極限

質問

例１

lim(x→2) a{√((x＾2)＋2x＋8)＋b}/x-2 = 3/4のとき、aとbを求める問題で。

なぜ、x-2=tとおくと、x→2のときt→0となるのですか？

例２
lim(x→-∞) {3x＋1＋√((9x＾2)＋4x＋1)}を求める問題で
なぜ、x=-tとおくとx→-∞のときt→∞
となるのですか？
教えてください
おねがいします。

回答No.6

leige

ふつうに
lim[x→2]t=lim[x→2]x-2=0なのでt→0

x=-tならt=-xとなるので
lim[x→-∞]t=lim[x→2]-x=∞なのでt→∞

このせつめいではだめでしょうか。

回答No.5

track

それには疑問を持っていた時期があります。
そこで、自分なりに勝手な方法で突破してきました。

以下の考え方は、あくまでイメージ的なものですので、数学に反しているかもしれません（笑

(例1)
x→2
これを方程式のように見て2を移行させて、
x-2→0
と考える。
この状態でx-2=tと置くと、
t→0
となる訳です。

ちなみに、
t=x-2
と置いている状態で、x→2というのは、
最終的にxが2に近づくということなので、ほぼ2が代入されると見て、
t→2-2
つまり、
t→0
となります。

(例2)
x→-∞
これを方程式のように見て両辺に-1をかけて、
-x→∞
と考える。
-x=tと置くと、
t→∞
となる訳です。

イメージ的（感覚的）には分かりやすいはずです。
ただ、数学的な意味を求めるのであれば向いていない考え方だと思います。
どうしても数学的な意味が分からないときは、上記の方法でやってみてください。
こういう問題なら案外解けますよ…。

回答No.4

tarame

では、例２のほうを
lim(x→-∞) {3x＋1＋√(9x^2＋4x＋1)}
＝lim(x→-∞) {(3x＋1)^2－(9x^2＋4x＋1)}/{3x＋1－√(9x^2＋4x＋1)}
＝lim(x→-∞) 2x/{3x＋1－√(9x^2＋4x＋1)}
と変形しますよね。
このあと、分子・分母をｘで割るわけですが
x＞0 のときは　ｘ＝√ｘ^2 なのですが
x＜0 のときは　ｘ＝－(-x)＝－√x^2 であることに注意しなればなりません…※
続きは
＝lim(x→-∞) 2/{3＋1/x＋√(9+4/x＋1/x^2)}
となるわけです。

置き換えることでｔ＞0となり、
※の部分に注意することなく計算ができるのです。

回答No.3

tarame

＞なぜ、x-2=tとおくと、x→2のときt→0となるのですか？
は、
「どうして、そのように置き換えるのか」ということですか？
その答えは「置き換えると、計算が楽になるから」です。

lim(x→2) a{√((x＾2)＋2x＋8)＋b}/x-2
＝lim[t→0](a√(t^2+6t+16)+b)/t
だから
lim[t→0](a√(t^2+6t+16)+b)
＝lim[t→0]{(a√(t^2+6t+16)+b)/t}×t
＝3/4×0＝0　より
4a＋b＝0 　∴ b＝-4a　
（ここまでは、置き換えなくても同じように求められますね）
代入して
lim[t→0](a√(t^2+6t+16)+b)/t
＝lim[t→0](a√(t^2+6t+16)-4a)/t
＝lim[t→0]a(t+6)/{√(t^2+6t+16)+4}
＝(3/4)a
とするとき、置き換えないと、このあたりがちょっとだけ面倒になるのかな？！
まずは、例１だけ

回答No.2

rinri503

ためしに　ｔ＝ｘ－２　という直線を書いてみてください
　　縦軸に　ｔをｙの代わりに　、横軸に　ｘ軸
　　　すると右上がりの直線になります
　　　左右からｘが、２に近ずくと　ｔは、０に近づきま　　　す

　　おなじく　ｘ＝－ｔ　を　ｔ＝－ｘとして直線を
　　書くと右下がりの直線
　　ｘを左の方－∞へ移動させるとｔは左上に＋∞に近づ　　　きます

　　こんなものでどうでしょう

回答No.1

tarame

「x→2」は、「ｘを限りなく２に近づける」です。
ここで、注意しなければならないのは、
x＝2にはならないということです。
さて、ｘを２に近づけてみましょう
ｘ　2.1⇒2.01⇒2.001⇒2.0001⇒…→2 のとき
ｔ　0.1⇒0.01⇒0.001⇒0.0001⇒…→0 となりますね。

「x→-∞」は、「ｘを限りなく小さく(符号が負で絶対値を大きくする)」です。
ｘ　-1⇒-10⇒-100⇒-1000⇒…→-∞ のとき
ｔ　+1⇒+10⇒+100⇒+1000⇒…→+∞ となりますね。

補足

説明不足でごめんなさい。

例えば
＜「x→2」は、「ｘを限りなく２に近づける」です
ということはわかります。

もう少し具体的に教えていただけませんか？